Filósofo (B.A. & M.A.) de la vertiente analítica, especializado en epistemología y filosofía de las ciencias. También tengo interés investigativo en fenomenología y ética.
Solicita y matricúlate en el curso: “Problemas contemporáneos de la bioética” (HUMA 4995 – Secc. 999)
Descripción: El curso se enfocaen los orígenes históricos y fundamentos filosóficos de la bioética y su aplicación a algunas áreas afines a la medicina, las ciencias biológicas y sus especialidades. Las áreas de reflexión filosófica incluyen, pero no se limitan a la ética médica, la ética de animales, la ética ambiental, la ética de investigaciónen relación con la neurociencia y modificación genética. Además, se analizarán elementos externos al quehacer científico o médico que deben tenerse en cuenta a la hora de tomar decisiones, tales como los aspectos económicos, jurídicos, políticos y religiosos de un problema.
Peticiona y matricúlate en el curso: “Filosofía de la mente” (HUMA 4995 – Secc. 997)
Descripción: El curso tratará los problemas filosóficos modernos y contemporáneos en relación con el concepto de la mente. Se discutirán los temas de la relación cuerpo-mente, su identidad o distinción, la conciencia, la existencia o no del libre albedrío, teorías de identidad del yo, el modelo computacional de la mente, la interacción intersubjetiva y otros temas afines.
Les invitamos a que pase por la exibición Arte de la Edad Media en la Galería Los Miserables en la Sala Los Miserables, localizada en el vestíbulo enre los departamentos de Inglés y de Humanidades.
Le agradecemos a la Profa. Ninoshka Coll y a la clase de Arte Participativo por estas obras.
Anuncio de exhibición “Arte de la Edad Media”
Exhibición “Arte de la Edad Media” en la Sala Los Miserables
Exhibición “Arte de la Edad Media” en la Sala Los Miserables. A la izquierda, el Departamento de Humanidades.
En el ámbito estadounidense y también recientemente en el mundo hispanohablante, aparece y resurge, como controversial, el tema de la relación entre las ciencias, la filosofía y la ética.
Esto se debe a varias cosas. Probablemente, una de ellas sea que las ciencias en general pueden lucir su evidente adelanto progresivo de conocimiento que repercute en la vida de cada uno de nosotros. A la ética se le ve como algo que cobra importancia a medida que se van complicando los problemas de la humanidad y, con ello, nuestra capacidad de tomar decisiones individuales y colectivas en relación con temas apremiantes: cambio climático, los perjuicios del capital, la alteración genética de nuestros alimentos, política energética, las políticas de austeridad en épocas de depresión, la brecha entre los ricos y pobres, entre otros. Sin embargo, cuando se piensa en un filósofo, se piensa en la más inútil de todos los académicos. Se cree que la labor es salir al campo, recostarse bajo un árbol, mirar al cielo y preguntarse todo el día si el vaso está medio lleno o medio vacío.
Peor aún, otros piensan que nuestro oficio involucra en dar charlas de motivación o escribir libros de autoayuda. No es que los filósofos profesionales no creamos en el valor de la autoestima, pero no nos limitamos meramente a eso. Es más, en muchos casos (no en todos) despreciamos muchos de los libros de autoayuda, ya que, desde nuestra perspectiva, educan muy mal al público y no les enseñan a pensar rectamente. En casos como en The Secret de Rhonda Byrne, está plagado de falsedades, falacias e información fraudulenta.
– ¿Y ellos qué hicieron, Virgilio? – Clasificaban los libros de autoayuda en la sección de filosofía. pic.twitter.com/a258tHT8HN
Tal vez, parte de estas perspectivas de la filosofía se deban, en parte a nosotros los filósofos. ¿Por qué? En muchas ocasiones, absorbimos la lógica y algunas otras maneras de pensar rectamente, pero o las compartalizamos a una cierta disciplina cuando nos conviene ideológicamente o, sencillamente, nos olvidamos de ellas. Como resultado se produce en muchos casos, una literatura muy pobre. Otros, exacerban el problema cuando se olvida que la sencillez y claridad es nuestra meta y surge el fenómeno de que unos autores compiten por verborrea a un nivel que, en muchas ocasiones, ni filósofos como este servidor entiende (y, sospechamos fuertemente, que ellos tampoco). En otros casos, la línea argumentativa sufre notablamente, sea por descuido de las normas básicas de argumentación y lógica, o por desconocimiento de la tradición básica de la filosofía y resucitan problemas a los que se han respondido hace un siglo, varios siglos o hace muchos milenios atrás.
Esto crea una impresión errada de que la filosofía no tiene nada qué ofrecer. Ese no es el caso. Hay bastante material filosófico genuino y útil, sin embargo, debido a lo complicado de los temas tratados, parecen, a primera vista, incomprensibles en sí mismos. En tales casos, lo que sucede es que se requiere instrucción filosófica de la tradición en general y de la rama de la disciplina en cuestión. Esto no es distinto a no entender un texto de física cuántica de alto calibre como los que se publicarían en la revista Nature Physics por no comprender las ecuaciones discutidas; en tal caso, a usted le falta instrucción matemática y física para eso.
Sin embargo, la filosofía ha aportado a gran parte de la formación de las disciplinas actuales. Piénsese que Aristóteles es el padre de la física, la biología, la psicología, la zoología, la botánica, la antropología, la geología, la lógica, la hermenéutica, la meteorología, la cinemática, la retórica, mientras que discutió también extensamente temas como la ética, la astronomía, la política, los sueños, el derecho, entre otros. En la física, hay ecos de la distinción aristotélica entre potencia y acto, cuando se habla de energía potencial y cinética correspondientemente. La observación hecha por David Hume y Karl Popper en torno a la inducción, y que lo que percibimos es algo determinado por teorías mentales o socialmente aceptadas, ha llevado a científicos de inteligencia artificial a trabajar en el tema. Los logros hechos por lógicos como George Boole, Gottlob Frege, Bertrand Russell, A. N. Whitehead, Kurt Gödel y otros, han sido el fundamento formal de las ciencias computacionales. Hoy, los filósofos tienen un rol importante en la discusión en cuanto a la presente división en la física entre el ámbito macro y el cuántico, modelos de la relación cerebro-mente, modelos de la evolución de los organismos por vía de la descendencia con modificación, la distinción entre ciencia y seudocidencia, y, muy especialmente, ética: ética general, bioética, ética empresarial, ética ambiental, ética tecnológica, ética médica, ética en el empleo, entre muchos otros. La filosofía también toca áreas que tienen que ver con las Humanidades y otras disciplinas: estética, filosofía del arte, filosofía de la literatura, filosofía de la historia, entre otros.
Sin embargo, la manera en que nosotros, filósofos, hemos enseñado en ocasiones la disciplina, es como un popurrí de autores que “dijeron cosas interesantes”, pero en las que no vemos su utilidad. En nuestros cursos, a veces, fallamos en resaltar la relevancia actual de los problemas planteados en aquel entonces, o enfatizar por qué ciertos planteamientos han sido refutados, precisamente para no volverlos a plantear y no perder el tiempo intentando refutar zombies (muertos que vuelven que emergen otra vez) que ya han sido hartamente falsados.
The Grand Design, escrito por Stephen Hawking y Leonard Mlodinow.
Muchos pensadores contemporáneos no piensan lo mismo, especialmente si no han sido debidamente instruidos en filosofía. Piensan que la ética es una disciplina racional, pero que la filosofía es una pérdida de tiempo. Dicen ellos que la ética es una disciplina que exige rigurosidad de pensamiento como las ciencias, mientras que los filósofos “están por la libre y no producen nada” actualmente que sea particularmente valioso. Ergo, la ética rigurosa es una rama de las ciencias. Un buen periodista de las ciencias como Mauricio Schwartz, sostiene una perspectiva semejante. El conocido neurólogo y ateísta militante, Sam Harris, descarta la metaética con un bostezo, sin la voluntad de mirar o lidiar con los supuestos que, creo yo, son inconvenientes a su propuesta (Harris 197). Una vez, el gran neurólogo, Vilayanur S. Ramachandran, le preguntó a un público en una conferencia, un poco con sentido sarcástico, que quién había escuchado a un filósofo refutando a otro. (El vídeo de la conferencia en que dijo eso, parece haber desaparecido de YouTube). Sin embargo, quedó sumamente sorprendido cuando una persona del público le gritó: “¡Aristóteles refutó a Platón!”, y estaba en lo cierto. (Aristóteles, Metafísica 990a-993a; “Ética” 1096a-1097a) Esta es la razón por la que ningún platonista contemporáneo (como este servidor) es un platonista clásico (o si los hay, son bien raros). El ya fallecido Stephen Hawking y Leonard Mlodinow nos dicen que la filosofía “está muerta”, porque las ciencias ya habían respondido todas las preguntas de nuestra disciplina, es decir, ¿de dónde proviene el universo? (Hawking y Mlodinow 5) Como filósofo, confieso, ¡no sabía que nuestra disciplina se dedicaba a un único tema y que era tan restrictiva, que no hablaba de otras cosas!
Steven Pinker (2007). Foto cortesía de Rebecca Goldstein (CC-BY-SA 3.0 Unported).
Hay otras visiones más sofisticadas como la de Steven Pinker, un sicólogo cognitivo y lingüista, quien utiliza un truco lingüístico para respaldar la idea de que la ética es una rama de las ciencias. El acto de magia consiste en redefinir lo que se quiere decir con la palabra “ciencia” y define el término de esta manera: cualquier actividad que transcurra por la vía de la razón secular, debe ser considerada científica. Claro está, esta caracterización demasiado amplia elimina el problema, pero solo a nivel lingüístico. Sin embargo, como el mismo Pinker reconoce, se convierte en un problema dentro de nuestra sociedad a la hora de hablar del tema, porque el término “ciencia” se suele asociar más con las ciencias naturales y, secundariamente, con las ciencias sociales. No se vincula convencionalmente o sicológicamente con la ética o la filosofía.
El propósito de esta serie, que se dividirá en dos partes, es que el factor común de todos estos casos, es una confusión de campos del saber (lo que llamamos en filósofía, “metábasis eis allo génos“, o transgresión indebida a otro género o esfera de conocimiento). Llamo cientificismo ético, a una metábasis que involucra establecer a la ética como una rama de las ciencias fácticas.
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La idealidad y los hechos
En primer lugar, desde tiempos de Aristóteles, gran parte de la labor filosófica profesional es la atención que se le debe prestar a no caer en falacias. Una falacia es una falla de razonamiento lógico. Por ejemplo, cuando decimos que creemos algo porque la Biblia lo dice, o sostenemos una convicción porque así ha sido la tradición de nuestros ancestros, o que llevamos a cabo algo porque esa es la opinión de la mayoría, en todos estos casos, caemos en falacias. En el primer caso, caemos en un argumento ad verecundiam (falacia de la autoridad), el que un libro diga algo, no lo hace automáticamente correcto para ser obedecido o contemplado como una autoridad. En la segunda, un argumento ad antiquitatem (falacia de la tradición), que algo se haya creído desde tiempos antiguos, no justifica que se sostenga hoy día. En la tercera, la falacia argumentum ad populum (falacia de la mayoría), porque la mayoría lo sostenga, no significa que sea correcto: piénsese en la época en que la humanidad creía que la Tierra era el centro del cosmos. Los filósofos debemos guardarnos en todo momento de caer en estas y otros errores de argumentación. Esto no significa que, a pesar de nuestros genuinos esfuerzos, no caigamos en alguna, pero la discusión entre nosotros depurala discusión, llevando así, los debates a un nivel de mayor calidad. El esfuerzo intelectual de ello es lo que distingue a un filósofo excelente del pobre. Como el mismo Aristóteles reconocía, pensar rectamente es una empresa muy difícil. (Aristóteles, Metafísica 982a-983a)
Imagen de La Escuela de Atenas pintado por Rafael (1511). A la izquierda, está Platón, sosteniendo su obra, Timeo, señalando al cielo, aludiendo así al mundo de las ideas. A la derecha, está Aristóteles sosteniendo su Ética (nicomáquea) y estableciendo la primacía del conocimiento en las cosas del mundo.
Igualmente, la filosofía debe establecer una clara distinción entre esferas conceptuales, si no se distinguen, entonces se cae en confusión. Tal vez, la distinción más importante es la establecida por Platón, que tiene sus raíces en otros filósofos, entre los asuntos conceptuales intelectivos y los asuntos concernientes al mundo temporal. El error principal de Platón y no el único, fue decir que en un mundo abstracto “habitan” los conceptos intelectivos o formas arquetípicas (ideas) de los que “participan” causalmente los objetos del mundo físico. (Platón 507a-511a) Parte de la crítica de Aristóteles a Platón era que este modelo no podía explicar la participación de los objetos materiales de estos objetos abstractos, especialmente cuando se trata de un ámbito totalmente distinto y apartado de este. Parece que Platón incurrió en una confusión de esferas (la ideal y la material), vinculándolas causalmente en un mismo universo.
A la izquierda, Gottfried Wilhelm Leibniz. A la derecha, David Hume.
No obstante la refutación de Aristóteles, en la Modernidad, se volvió hacer este énfasis de ambas esferas de discusión sin necesariamente caer en los errores platónicos. Este fue el caso de los filósofos modernos, Gottfried Wilhelm Leibniz, favorecedor del racionalismo y David Hume, propulsor del empirismo y escepticismo. A pesar de que ambos pensadores pertenecieron a tradiciones filosóficas opuestas, tenían algunos aspectos en común. El primero estableció la distinción entre vérités-de-raison (verdades de razón) y vérités-de-fait (verdades de hecho). Las verdades de razón son aquellas que se pueden conocer a priori, es decir, sin recurrir a la experiencia, y cuya negación implica automáticamente una contradicción. Por ejemplo, “un círculo es redondo”, el principio lógico de identidad, o “2 + 2 = 4”, no hay universo posible en que estas tres aserciones no sean verdaderas, porque su negación sería instantáneamente falsa. En cambio, las verdades de hecho son aquellas cuya negación no implican necesariamente una contradicción, por tanto su autoridad se justifica a posteriori, es decir, recurriendo a la experiencia, ejemplo: “Fulano nació en San Juan” o “París es la capital de Francia”, podríamos imaginarnos algún universo en que ninguno de los dos sea verdadero, sabemos que estas aserciones son verdaderas porque buscamos la información en el mundo, no por puro raciocinio. (Leibniz, Monadología 102-103; Nuevo ensayo 67-91) Hume leyó a Leibniz, y estableció una distinción semejante, entre relaciones de ideas y materia de hechos. Para Hume, no debe dudarse nunca de las primeras, ya que sus axiomas son autoevidentes, y son el fundamento de las ciencias deductivas como la lógica y las matemáticas. Ese no es el caso de la materia de hechos (Hume, Investigación 47-49).
La discusión en filosofía ha evolucionado bastante desde Platón, Leibniz y Hume hasta el presente. El trascurso de este viaje filosófico a la actualidad no es algo que nos incumbe aquí. Basta señalar que, gracias a estas distinciones principales, hay un consenso entre los pensadores de que los campos de investigación se justifican de acuerdo a su objeto de investigación.
Lo que investigan las ciencias fácticas en general son ciencias de verdades de hecho, en el sentido de Leibniz, o de materia de hechos, en el sentido de Hume. El propósito de estas ciencias es descubrir y entender hechos del mundo: ¿por qué el universo existe?, ¿qué es el cuerpo humano y cómo funciona?, ¿cómo y por qué los objetos espaciales se mueven de la manera que lo hacen?, ¿por qué las sociedades se comportan de la manera que lo hacen?, y así por el estilo. A las ciencias fácticas describen y teorizan sobre lo quesucede en el mundo para poder explicarlo y, así, comprenderlo. Las ciencias fácticas, como las ciencias naturales y las sociales, nos proveen conocimiento de todo lo que sea del ámbito de las materias de hecho.
Sin embargo, en cuanto al ámbito de verdades de razón, hay también disciplinas cuyos objetos de estudio no tienen nada que ver con los hechos del mundo, sino más bien de estructuras formales, sean sintácticas y semánticas (la lógica formal), u objetos formales y sus relaciones necesarias, como las de las matemáticas formales (álgebra, cálculo, geometría analítica, teoría de conjuntos, mereología, entre otras). Estas son ciencias eidéticas formales, es decir, son ciencias deductivo formales, que parten de axiomas autoevidentes (e.g. x + y = y + x) y, a partir de las que derivan todas las demás verdades lógicas y matemáticas.
Sin embargo, también hay ciencias eidéticas materiales, que es una ciencia a priori, pero que parte de la conceptuación de atributos de objetos o relaciones en el mundo. Un ejemplo de ello es la geometría clásica: puntos, líneas, figuras. En ese campo, al igual que en las matemáticas formales, se parten de axiomas y se deducen otras verdades geométricas. Sin embargo, en otros casos, la cosa no es tan sencilla, como en el caso de la filosofía. Reconocemos la lógica y las matemáticas como ciencias formales que deben ser base fundamental de nuestra argumentación. Sin embargo, categorizamos y conceptuamos, forjamos marcos teoréticos fundados en principios racionales o supuestos razonables, con los que argumentamos en torno a ciertos temas.
Por ende, las ciencias eidéticas en general, no lidian con hechos como las ciencias fácticas, sino que más bien su esfera es la idealidad, es decir, verdades, valores, principios y normas racionalmente o razonablemente justificados. Cuando hablamos de idealidad, a lo que nos referimos a conceptos, principios y normas abstractas que son objetivamente asentidas por seres racionales o deducidos a partir de ellas. Aquí, el término “objetividad” significa aquello que es reconocido como intersubjetivamente válido, no necesariamente como sinónimo de existente. Esto contrasta con lo “subjetivo”, es decir, aquello que es solo asentido por un solo individuo como válido. Sobre la existencia o no de estos objetos matemáticos, verdades lógicas, principios, valores, o normas eidéticas, debemos indicar que estos temas han sido objeto de extensos debates en la filosofías. Algunos como Mario Bunge piensan que se pueden concebir como ficciones, otros como James Robert Brown como realidades. Otros como Karl Popper, los consideran construcciones objetivas, mientras que Henri Poincaré como convencionalismos. Dejaremos a un lado esta disputa y nos fijaremos, por lo pronto, en el hecho de que todo filósofo forja sus propuestas con todos estos factores ideales en mente como algo con grados de objetividad, aun cuando difieran en cuanto a lo que son y su existencia.
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La ética como disciplina de idealidades, no de hechos
En muchos casos, cuando se ven algunas figuras populares en la Internet, en las librerías o en conferencias, uno se percata de que suelen confundir dos esferas totalmente distintas, la de los hechos y la de las normas y valores éticos. El razonamiento es el siguiente: si la normativa ética le concierne a la manera que deberíamos actuar en el mundo, pues, se refiere a asuntos del mundo. Si es así, entonces la ética debe considerarse una ciencia fáctica.
Para entendernos bien, necesitamos distinguir otras dos áreas de discusión que frecuentemente se confunden en la discusión pública: la moral y la ética. Estos dos términos son tratados como sinónimos por ciertos autores y diccionarios, otros los distinguen. La palabra “moral” viene del latín mos o moris que significa costumbre o hábito. Así que llamaremos moral al conjunto de valores y normas cónsonos con los usos y costumbres de una sociedad. Como bien reconoce todo antropólogo desde tiempos de Franz Boas, la moral social varía de tiempo en tiempo, de lugar en lugar. Lo que era aceptable para una sociedad en una época (quemar brujas para remediar epidemias) no es aceptable hoy día en países desarrollados. La mutilación genital femenina, practicada en muchos lugares de África y Asia, es inaceptable en Europa, América y muchas partes de Asia y África. La moral siempre varía y es objeto de las ciencias sociales, porque es investigada por la antropología y los estudios culturales.
Por otro lado, la ética no intenta fomentar usos y costumbres, sino ponerlos bajo escrutinio utilizando los principios de la lógica y la sana argumentación, según reglas de raciocinio objetivamente aceptadas por eticistas y filósofos. Muchas costumbres morales no se sostienen desde un punto de vista ético y ciertos valores morales no pueden justificarse éticamente, porque no tienen base racional alguna. Aunque “ética” y “moral” no son sinónimos, la ética sí cuestiona en torno a la moral, es decir, sobre la justificación racional de los usos y costumbres sociales y, con base en ello, orienta a cómo deberíamos actuar. Este es el sentido más cercano a la palabra griega ethika (con “eta“), para referirse al carácter de una persona. Es la función de la ética justificar sus aserciones sobre códigos morales sociales y acciones individuales o colectivas: buenas, malas, inhumanas, razonables, excelentes, correctas, incorrectas, etc. (Cortina y Martínez 9-27; Ferrer, Álvarez Pérez y Molins Mota 39-45)
Esto nos trae, pues, al corazón de todo este meollo. Recordemos lo ya dicho en la sección anterior, las disciplinas se forman a partir de su objeto de investigación. Las ciencias factuales, como las naturales y las sociales, describen y teorizan sobre los hechos, es decir, cómo actúan los objetos y personas en el mundo. Sin embargo, el tipo de pregunta que se hace la ética como empresa racional no es esa, sino que interroga sobre cómo deberíamos actuar. La ética, como ciencia normativa, no indaga en torno a la conducta humana, sino cómo debería ser la actividad de todo ser racional. Las acciones como deberían ser, a diferencia de como se hacen actualmente o en el pasado, no son objetos que se pueda medir empíricamente, observar con un microscopio, con un telescopio, o con un beaker. Tampoco son pertinentes a las ciencias fácticas, predicados tales como: bueno, malo, correcto, incorrecto, excelente y demás valores éticos. Estos términos, en su sentido ético, describen a una acción humana si esta coincide con una justificación racional de ese acto y no necesariamente con valores, hábitos y costumbres de alguna sociedad.
¿Y cómo llegamos a saber cómo debería ser nuestra conducta? Por evidencia intelectiva, no empírica. Convenimos todos de que no debería existir la esclavitud, pero existe como hecho, aunque sea ilegal en todo el mundo. No debería haber maltrato conyugal, pero existe como hecho. ¿Con qué base ética rechazamos las dos cosas? Porque las víctimas de ambos fenómenos son seres humanos, que son personas, es decir, sujetos que tienen sentiencia, autoconciencia y proyectos de vida. Eso les da un valor que no se mide económicamente, sino dignidad. Sí, la personalidad puede definirse en términos que pueden ser constatables empíricamente. La dignidad no, porque es un valor que va más allá del precio comercial y del afectivo, como diría Kant, es un valor que no tiene precio. Las personas deberían ser consideradas fines en sí mismas, no meramente como medio, sea mediante la esclavitud o como instrumento de agresión.
Bueno, malo, valores (en el sentido ético), dignidad, deber, respeto, responsabilidad (ética), etc., son nociones totalmente ajenas a cualquier ciencia natural o social. Son nociones ideales no factuales.
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Dos falacias
G. E. Moore
Dado este escenario, todo eticista debe evitar dos falacias. La primera es la falacia naturalista: esta fue reconocida por dos filósofos, David Hume y George Edward Moore. En el caso de Hume, en su famoso escrito, Tratado de la naturaleza humana, nos dice que es imposible derivar valores éticos a partir de los hechos. A esto se le ha conocido como la Guillotina de Hume. (Hume, Tratado 469-470). ¿Qué significa? Sencillamente que, mediante las reglas de derivación lógica, es imposible derivar una normativa ética (un deber ser) a partir de un hecho (lo que es). Digamos que existe la esclavitud. La pregunta sería, ¿cómo deducimos lógicamente que debería o no existir la esclavitud? No hay manera de hacerlo a partir del mero conocimiento de los hechos del mundo.
Por tal razón, el gran eticista, G. E. Moore, afirmaba que cuando hablamos de una acción “buena” en el sentido ético, el predicado “bueno” no puede definirse en otros términos: lo placentero, la felicidad, el bienestar económico, el bienestar espiritual, etc. Hacerlo, sería confundir cada uno de estos conceptos naturales con la noción de bueno, llevando así a lo que llamaba falacia naturalista. Por ende, la falacia naturalista pretende derivar de lo que es el deber ser, identificando así un hecho con un valor ético. Hay una confusión de esferas.
Sin embargo, también hay que estar prevenidos de la falacia idealista (en la forma de una falacia moralista) que es el caso inverso: se quiere derivar un hecho a partir de un valor. Valores como la libertad o la paz son loables, pero eso no significa que de hecho haya libertad o paz en todos los lados, que todo el mundo aspire a ello o que esté actuando con esos fines.
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La ética no es ciencia fáctica
La falacia naturalista constituye un problema insuperable para el cientificismo ético. Este propone que la ética es una ciencia fáctica de alguna manera. Sin embargo, es imposible derivar el “deber ser” (norma ética) a partir del “ser” (hecho), sin añadir en las premisas, conceptos y normativas. Si la ética fuera una ciencia fáctica, como alegan ellos, habría que preguntarse, pues, de dónde provienen estas nuevas premisas. La respuesta inevitablemente llevará a los contrasentidos de su perspectiva:
Si se dice que estas nociones son científicas, aun cuando no tengan valor descriptivamente empírico, entraríamos en un razonamiento circular.
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Si decimos que las nuevas premisas provienen de las ciencias fácticas, entonces tendrían como referentes los hechos, algo que contradice la supuesta necesidad de añadirlas.
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Si afirmamos que estas premisas provienen, pues, de una disciplina ajena (¡la ética!), entonces no sería apropiado decir que la ética es una ciencia fáctica.
El cientificismo ético es, pues, insostenible.
¿Quiere decir eso, entonces, que los eticistas se encierran en su oficina, miran al techo y llegan a solucionar los problemas del mundo sin consultar las ciencias? ¡Claro que no! Este es el equívoco de fondo en el que incurren personas como Sam Harris al pensar que necesita “ningunear” la falacia naturalista, para que las ciencias sean pertinentes a la ética.
Los principios, los valores y las normativas, son importantes como criterio para actuar. La ética nos provee el fundamento crítico y racional para actuar. Estos principios son racionales y nos dicen por qué hay que actuar de ciertas maneras y el propósito que deberíamos tener en mente. Sin embargo, son las ciencias fácticas las que nos proveen el conocimiento de cómo aplicar estos principios a la cotidianidad y a la sociedad. Ese será el tema de la segunda parte de nuestra serie.
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Referencias
Aristóteles. Ética nicomáquea / Ética eudemia. Traducido por Julio Pallí Bonet, Gredos, 2003.
Aristóteles. “Ética nicomáquea”. En Aristóteles, Ética, pp. 129-408.
Aristóteles. Metafísica. Traducido por Tomás Calvo Martínez, Gredos, 2003.
Brown, James Robert. Philosophy of Mathematics. A Contemporary Introduction to the World of Proofs and Pictures. 2da. ed., Routledge, 2008.
Bunge, Mario. Epistemología. Curso de actualización. Siglo XXI, 1980.
Cortina, Adela y Emilio Martínez. Ética, Akal, 2001.
Ferrer, Jorge José, Juan Alberto Lecaros Urzúa y Róderic Molins Mota, editores. Bioética: el pluralismo de la fundamentación. U Pontificia Comillas, 2016.
Ferrer, Jorge José, Juan Carlos Álvarez Pérez y Róderic Molins Mota. “Del fenómeno de la moralidad a las teorías éticas”. En Ferrer, Lecaros Urúza y Molins Mota, pp. 23-51.
Harris, Sam. The Moral Landscape . Simon & Schuster, 2010.
Hawking, Stephen y Leonard Mlodinow. The Grand Design. Bantam 2012.
Hume, David. Investigación sobre el conocimiento humano. Traducido por Jaime de Salas Ortueta, Alianza, 1988.
—. Tratado de la naturaleza humana. Traducido por Félix Duque, Orbis, 1984. 3 vols.
Husserl, Edmund. Ideas relativas a una fenomenología pura y una filosofía fenomenológica—Libro Primero: Introducción general a la fenomenología pura. Traducido por José Gaos y Antonio Zirión Quijano, editado y refundido por Antonio Zirión Quijano, Fondo de Cultura Económica, 2013.
Kant, Immanuel. Fundamentación de la metafísica de las costumbres. 2da. ed., traducido por Roberto R. Aramayo, Alianza, 2012.
Leibniz, Gottfried Wilhelm. Monadología. Edición trilingüe. Traducido por Julián Verlarde. Pentalfa, 1981.
—. Nuevos ensayos sobre el entendimiento humano. Traducido por J. Echeverría Ezponda, Nacional, 1983.
De entre los matemáticos que han pasado por la Tierra, ninguno ha creado mayor impacto en la matemática y la filosofía de las matemáticas al mismo grado que lo hizo el genial Georg Cantor (1845-1918). El gran matemático contemporáneo David Hilbert, declaró en un momento dado un dictum que se ha cumplido verbatim: “Nada nos apartará del paraíso de Cantor”. A pesar de estas palabras y, no obstante, el rechazo virulento que en sus comienzos, hoy la teoría de conjuntos está presente en cualquier libro de texto de las matemáticas.
Si este es el hecho, ¿por qué se rechazaría con tal animosidad una rama de las matemáticas tan fundamental? Y, más importante, ¿cuáles elementos de esta teoría matemática impactó la filosofía dramáticamente?
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El fundamento de las matemáticas: los conjuntos
La propuesta de Cantor comienza con la noción de conjuntos. Para él, los conjuntos son una totalidad compuesta de elementos. Cualquier combinación de elementos cualquiera puede considerarse un conjunto. Actualmente estas son las notaciones que se utilizan para la teoría de conjuntos y que utilizaremos para comprender a cabalidad algunos de los aspectos de la teoría de Cantor.
Notación de teoría de conjuntos
{…} = Conjunto.
{1, 2, 3, 4,} = Conjunto con los elementos 1, 2, 3 y 4. x ∈ A = Un elemento x pertenece a un conjunto A. x ∉ A = Un elemento x no pertenece a un conjunto A.
∅ = Conjunto vacío
ℕ (también ℕ⁰) = Conjunto de números naturales que incluye el cero = {0, 1, 2, 3, 4, …}
ℤ = Conjunto de números enteros= {…, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, …}
ℕ* = Conjunto de números naturales que excluye el cero = Números enteros positivos (ℤ⁺) = {1, 2, 3, 4, …}
ℚ = Conjunto de los números racionales = números que se pueden representar en fracciones, incluye a todos los íntegros.
ℝ = Conjunto de los números reales = números naturales, los racionales y los irracionales.
Además, los conjuntos también pueden tener como elementos a otros conjuntos. Tomemos por ejemplo este: A = {1, {2, 3}, 4}. ¿Cuántos elementos hay en este conjunto? Tres, a saber: 1 (el primero), {2, 3} (el segundo) y 4 (el tercero). Si representáramos al conjunto {2, 3} con la letra B, podemos decir que B es un subconjunto de A, o, en notación, B ⊆A.
Lo del contar elementos también vale en el caso del conjunto vacío. Es decir, ∅ es el conjunto vacío, pero {∅} contaría como un conjunto que contiene un elemento, el conjunto vacío.
También Cantor originó la noción de conjunto potencia(℘), que es un conjunto que tiene como elementos todas las combinaciones posibles de los subconjuntos de sus elementos. Supongamos que tenemos un conjunto A = {1, 2, 3}. El conjunto potencia sería el conjunto de todos los posibles subconjuntos del conjunto A. ¿Cuál sería el conjunto potencia de A, es decir, ℘ (A)?
En general, todo conjunto potencia de cualquier conjunto C tendrá la cantidad de 2n, en el que n es el número de elementos en dicho conjunto. Es decir,
Para cualquier conjunto C con un número n de elementos, habrá un ℘ (C) cuyo número de elementos será 2n.
El problema de los números infinitos
El paraíso al que se refería David Hilbert era el de los transfinitos en la teoría de conjuntos, idea que no era muy afín a Hilbert ni a ningún otro formalista o constructivista de la época.
Desde la Antigüedad, los matemáticos y los filósofos han cuestionado la infinitud de los números. Sabemos que los números naturales son infinitos. Sin embargo, la secuencia de números primos (1, 2, 3, 5, 7, 11,…) es también infinita. La de números impares (1, 3, 5, 7, 9, 11 …), también lo es, así como el de los pares (2, 4, 6, 8, 10, 12 …). La pregunta sería, ¿existen unos infinitos “mayores” que otros? La misma pregunta es contraintuitiva, porque se podría decir que infinitoes infinito, no hay nada mayor que eso. ¡¿Qué diantres significa que un infinito sea mayor que otro?!
Sin embargo, la misma teoría de Cantor parecería implicar distintos “tamaños” infinitos. Cantor escribió una obra titulada Sobre las propiedades características de todos los números reales (1874) y, publicó en 1897, su obra Contribuciones a la fundamentación de la teoría de números transfinitos. Ambas fueron muy influyentes en discusiones y debates entre matemáticos y filósofos. Aquí, él abría las puertas a la “existencia” de conjuntos infinitos: el conjunto de números pares, el conjunto de números naturales, el conjunto de números primos, etc.
Su teoría de conjuntos le dio mayor agarre para discutir estos temas. Si hablamos de ciertos conjuntos finitos, podemos establecer una correlación de uno-a-uno entre ellos. Si tenemos un conjunto X = {1, 2, 3, 4} y un conjunto Y = {C, D, E, F}, se puede establecer una correlación uno-a-uno, ya que cada elemento de X tiene su correlato de elementos en el conjunto Y.
Correlación uno-a-uno entre conjuntos X y Y.
A este tipo de correlación se le conoce como biyección. En el caso de los conjuntos X y Y, se puede establecer una biyección. Cuando dos conjuntos tienen el mismo número de elementos se dice que es equinumérico. Una biyección entre conjuntos equinuméricos conservan su cardinalidad. La cardinalidad de un conjunto (simbólicamente |A| = la cardinalidad del conjunto A) es el tamaño de un conjunto en virtud de la cantidad de sus elementos. En el ejemplo que acabamos de ver, podemos decir que la cardinalidad del conjunto X es la misma que la de Y, o |X|=|Y|.
Como podemos ver, no hay problema alguno con establecer biyecciones entre conjuntos finitos, ¿pero qué hay de los infinitos? Los números naturales son infinitos. Desde la perspectiva de teoría de conjuntos, se dice que son conjuntos denumerablemente infinitos. Se puede decir con toda exactitud que el conjunto de números naturales tiene la misma cardinalidad de los números pares. Por ende, los números pares son denumerablemente infinitos.
Cardinalidad de los números pares. (Imagen creada por Pedro M. Rosario Barbosa / Disponible bajo el dominio público / CC0).
Lo mismo se puede decir de la cardinalidad de los números primos y los de los números impares, de los cuadrados de los números, etc. Para todos los efectos, todos estos infinitos tienen el mismo tamaño.
Alef Cero
Cantor le asignó un valor a esta cardinalidad y escogió la primera letra del alefato hebreo, ℵ (alef), para eso. El ℵ0 (alef-cero) designa la cardinalidad de aquellos conjuntos equinuméricos a los números naturales. Esta noción de conjuntos ya es contraintiutiva en muchos sentidos. Por ejemplo, si |ℕ| es la misma que la de los números pares, eso quiere decir que el tamaño de infinitud de los números naturales (la totalidad) es la misma que la de una parte de ella. Esto no ocurre en el caso de los conjuntos finitos. Así que podríamos definir a los números infinitos como aquellos en los que podemos establecer una biyección con un subconjunto de ellos mismos.
Debido a esto, no debería ser sorpresa que la suma o multiplicación de infinitos de cardinalidad ℵ0 sean también de cardinalidad ℵ0:
ℵ0 + ℵ0 = ℵ0
ℵ0 + ℵ0 + … + ℵ0 + ℵ0 = ℵ0
ℵ0 × ℵ0 = ℵ0
ℵ0 × ℵ0 × … × ℵ0 × ℵ0 = ℵ0
Cantor probó que todos los números racionales (números expresables en fracciones) son denumerablemente infinitos. Se pueden arreglar los números racionales de la siguiente manera:
Organización de números racionales
Una vez tenemos este esquema, podemos eliminar aquellas fracciones que significan otras que aparecen en la lista. De esta manera, podemos lanzar una flecha que de forma diagonal organice la numeración de los números racionales para establecer una biyección con los números naturales comenzando desde el cero.
Cardinalidad de los números racionales
Así, pues, Cantor pudo probar que el conjunto de números racionales es denumerablemente infinito.
Sin embargo, todavía no hemos tocado el tema más controversial. ¿Pueden haber unos infinitos mayores que otros?
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Tamaños de conjuntos infinitos
¿Que hay de los números reales (ℝ)? Los números reales incluyen todos los números naturales, los irracionales … y, mucho más, los irracionales (los números no expresables en términos de fracciones). Uno podría decir que la serie de números racionales es infinito. Sin embargo, intuitivamente sabemos que entre el cero y el uno también parece haber una infinidad de números racionales e irracionales.
Habría que preguntarse si |ℝ| es mayor o igual que ℵ0. Cuando se considera que los números irracionales decimalmente se extienden al infinito, debemos reorganizar estos números. Como en el caso de los números racionales, ¿podría establecerse una biyección con los números naturales?
Supongamos, para efectos del argumento, que es posible que establecer una biyección entre números reales entre 0 y 1 y los números naturales. Veamos esta representación de estos números reales que se expanden decimalmente entre 0 y 1, me basaré en la sencilla explicación que aparece en el libro de Jan Gullberg (260-261).
Expasión de espacios decimales entre los números 0 y 1
Ahora bien, consideren el siguiente número: 0. zI zIIzIIIzIV… de tal manera que:
zI = 8 si a1 = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, o 7; zI = 1 si a1 es 8 o 9
zII = 8 si b2 = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, o 7; zII = 1 si b2 es 8 o 9
zIII = 8 si c3= 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, o 7; zIII = 1 si c3 es 8 o 9
En tal caso es imposible que el número 0.zIzIIzIIIzIV… sea igual a ninguna expansión decimal de ninguna de las filas del diagrama, ya que el número zI difiere de la primera fila exactamente en a1, en la segunda fila el zII en b2, y así sucesivamente. De esta manera es falsa la premisa de que puede establecerse una biyección entre los números reales entre 0 y 1 con el conjunto de números naturales, porque siempre va a haber un número 0.zIzIIzIIIzIV… con el que no puede establece biyección con algún número natural.
En otras palabras, es posible de hablar de al menos un conjunto de números infinitos que es mayor que ℵ0, algo que es a todas luces contraintuitivo … pero la prueba es clara. Sencillamente el conjunto de números reales no es denumerablemente infinito.
De ahí, puede hablarse de números transfinitos, ya que Cantor pudo probar que hay una cantidad infinita de conjuntos infinitos de distintos tamaños: ℵ1, ℵ2, ℵ3, etc.
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La hipótesis del continuo
Si todo conjunto infinito puede tener un conjunto infinito como parte, entonces puede hablarse de casos en los que se puede establecer una biyección entre un subconjunto entre los números naturales, o se puede establecer una biyección con otro conjunto de mayor tamaño, como el de los números reales.
Cantor conjeturó que podría existir un número transfinito 𝔠, cuya cardinalidad sería la de los números reales entre el 0 y el 1. En un momento dado, Cantor pudo probar que la cardinalidad de los números reales es el conjunto potencia del conjunto de números naturales.
𝔠 = |ℝ| = |℘ (ℕ)| = 2ℵ0 > ℵ0
Según Cantor, podrían haber subconjuntos de los números reales que podrían tener una cardinalidad ℵ0 o de una cardinalidad 𝔠. A esto se le conoce como la hipótesis del continuo. Esta fue una hipótesis que nunca logró probar.
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La filosofía de Cantor
Después de una brillante y, admitidamente, controvertida contribución a las matemáticas, Cantor se dejó inspirar por la filosofía. Él era exalumno del gran matemático Karl Weierstrass, quien buscaba fundar la noción de número en la secuencia de números cardinales, es decir, el orden de números que miden la cardinalidad de conjuntos (Hill y da Silva 3).
0, 1, 2, 3, … , n, …; ℵ1, ℵ2, ℵ3, … , ℵα, …
Ahora bien, como dijimos en artículos anteriores, hubo distintas vertientes filosóficas en torno a naturaleza de los números y de las verdades matemáticas. Sin embargo, fue Cantor el primer matemático revolucionario que intentó buscar una justificación filosófica de su nueva teoría. Para 1894, había dado el giro hacia la filosofía y, muy particularmente, a la teología. Filosóficamente estuvo inclinado hacia el platonismo, contemplando sus conjuntos como formas ideales a las que se adaptan los objetos del mundo. Inspirándose en la noción neoplatónica del Intelecto Divino, Cantor afirmaba que estas esencias o ideas estaban contenidas en la Mente de Dios. Su indagación en cuanto a los conjuntos era un continuo descubrimiento de nuevas verdades, no de construcciones mentales a la Kant. Debía haber alguna manera de abstraerlos de la realidad. (Hill 5-6)
Las ideas de Cantor se sumaron a las de varios matemáticos como Bernard Bolzano de que podía establecerse la aritmética (junto a las teorías de conjuntos) como una disciplina analítica que no necesariamente debía apelar a las intuición pura, como lo pensaba Kant. En ese sentido, la geometría podía fundarse en las intuiciones de tiempo y espacio, no así el resto de las matemáticas. Los números definidos de alguna manera como conjuntos podían ser la base del resto de las matemáticas.
De hecho, en 1888, le tocó formar parte de un panel de defensa de una tesis de habilitación (Habilitationsschrift) para integrar a la facultad de la Universidad de Halle a otro brillante matemático que recientemente se había interesado por fundar los números en la noción de números cardinales desde un punto de vista sicológico y no desde el platonismo. El título de la tesis era Sobre el concepto de número y su autor, Edmund Husserl. Con el tiempo, Cantor llegó a ser mentor de Husserl y, a su vez, su íntimo amigo.
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Aparecen problemas
Aun con todo y su filosofía mística, el paraíso de Cantor no estaba exento de problemas. Como veremos en nuestra próxima entrada, hubo reacciones de filósofos y matemáticos por doquier ante la propuesta de la existencia de números transfinitos. Sin embargo, Cantor estaba consciente de que sin unas limitaciones, era posible que su hermosa contemplación mal axiomatizada pudiera caer en contradicciones.
Los problemas comenzaron a surgir cuando empezaron a fijarse en un teorema derivado de los axiomas de la teoría de conjuntos, que no hay un tope de números cardinales, ya que es infinito (hay un infinito número de tamaños de infinitos). En 1899, Cantor identificó una paradoja.
Paradoja de Cantor: Como hemos indicado, un conjunto potencia del conjunto A siempre tendrá una cardinalidad mayor que A o |℘ (A)|> |A|. Ahora, la teoría de conjuntos formulada nos dice que hay distintos números transfinitos, por lo tanto, hay una infinitud de números infinitos de distintos tamaños. Es más, es posible la creación de un conjunto B infinito que contengatodos los conjuntos infinitos. Eso significa que B tiene una cardinalidad mayor que la de cualquiera que sus subconjuntos. Eso significa que ℘ (B) también es un conjunto, por lo que sería un subconjunto de B y, por ende, |B| > |℘ (B)|. Sin embargo, de acuerdo con lo que establece el teorema de los conjunto potencia, |℘ (B)| > |B|. Esto es una contradicción.
Esta no era la única paradoja descubierta en esa época.
A partir del siglo XX, dos matemáticos, Ernst Zermelo y Abraham Fraenkel, desarrollaron un sistema axiomático de conjuntos. A esto se le conoce como el sistema de conjuntosZermelo-Fraenkel. En 1899, Zermelo descubrió que este sistema axiomático caía en una nueva paradoja. Una vez descubierta, se la dejó saber a Edmund Husserl y a David Hilbert.
La Paradoja Zermelo-Russell escrita por Edmund Husserl. (Rang y Thomas 16) Presione la imagen para versión agrandada.
Ya para entonces, Husserl había abandonado su proyecto sicologista y se adentró en las matemáticas desde una perspectiva platonista-estructural. En 1891, escribió una reseña sobre una obra de Ernst Schröder sobre el álgebra de la lógica y que fue leída por Zermelo. En esta reseña, Husserl le criticaba el descuido de la jerarquía de conjuntos que tienen otros conjuntos como elementos. Estos subconjuntos pueden tener elementos simples. Si no se distinguen bien entre un conjunto que es elemento de uno más alto y los elementos del subconjunto, se podría entrar en potenciales contradicciones.
Zermelo quería advertirle a Husserl que el problema era mucho más serio, al menos de acuerdo a la paradoja que él había descubierto en 1899. Así que en 1902 le envió una carta al respecto. La evidencia física de ello es una página en la que se halla escrita con el puño y letra de Husserl. Dice lo siguiente:
Zermelo informa (16 de abril de 1902) concerniente a la p. 272 de mi reseña de Schröder
En cuanto al problema, no en el método de prueba, Schröder está en lo correcto, de que:
Un conjunto M, que contiene cada uno de sus subconjuntos m, m’, … como elementos, es un conjunto inconsistente, i.e., dicho conjunto, si se trata como un conjunto, lleva a contradicciones.
PRUEBA. Consideremos a estos subconjuntos m que no se contienen a ellos mismos como elementos. (M contiene como elementos cada uno de sus subconjuntos; por ende, los subconjuntos de M también contendrán ciertos subconjuntos como elementos, ellos no siendo sus [propios] elementos, y ahora consideremos estos subconjuntos m, que puedan tal vez contener otros subconjuntos, pero no como elementos de sí mismos.)
Estos constituyen la totalidad de un conjunto M0 (i.e., el conjunto de todos los conjuntos de M que no se contienen a sí mismos como elementos), y ahora yo pruebo de M0,
que no se contiene a sí mismo como un elemento,
que se contiene a sí mismo como elemento.
Concerniente a (1): M0, siendo un subconjunto de M, es un elemento de M, pero no un elemento de M0. De otra manera, M0 contendría como elemento al subconjunto de M (es decir, M0 mismo), que se contiene a sí mismo como elemento, y eso sería una contradicción con la noción de M0.
Concerniente a (2): Por tanto M0 en sí mismo es un subconjunto de M que no se contiene a sí mismo como elemento. Por tanto, debe ser elemento de M0.
Por supuesto, un conjunto con una definición como la de M es el conjunto de todos los conjuntos. Este es también un ejemplo de que el conjunto podría contenerse a sí mismo como elemento: El conjunto de todos los conjuntos es un conjunto. (Rang y Thomas 16-17)
Si esto les suena familiar, tal vez no sea Zermelo el que venga a su mente, sino Bertrand Russell, quien descubrió posteriormente (1901) esta misma paradoja, que hoy lleva su nombre. Hay filósofos que han argumentado que con toda justicia debería conocerse como la Paradoja Zermelo-Russell.
Esto se debe a que justo cuando el filósofo Gottlob Frege iba a publicar el segundo volumen de su obra Leyes fundamentales de la aritmética, recibió una carta del filósofo británico (1902) para señalarle que en el primer volumen, sus axiomas permitían dicha paradoja.
Esto fue muy malas noticias para Frege, cuyo proyecto logicista definió la filosofía del siglo XX, especialmente en su vertiente analítica. Sin embargo, la paradoja fue un punto de aclaración en torno a la constitución de conjuntos desarrollada por la fenomenología de Husserl. Este se convirtió a su vez en el padre de la filosofía continental contemporánea. Es irónico que hoy se consideren divididas dos vertientes filosóficas que comenzaron con dos grandes matemáticos, ambos platonistas, ambos realistas semánticos y ambos en una u otra medida grandes pensadores.
Su historia está por contarse, continuaremos…
Nota al calce: Le agradezco al amigo Richard Santiago por sus observaciones que han sido debidamente integradas al texto, específicamente sobre la distinción entre números naturales que incluyen al cero y el conjunto de números íntegros positivos. También aconsejó incluir una definición del conjunto potencia.
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Referencias
Brown, James Robert. Philosophy of Mathematics: A Contemporary Introduction to the World of Proofs and Pictures. 2da. ed. Routledge, 2008.
Cantor, Georg. Contributions to the Founding of the Theory of Transfinite Numbers. Dover, 1915.
Gullberg, Jan. Mathematics: From the Birth of Numbers. W. W. Norton & Co., 1998.
Hill, Claire Ortiz y Jairo José da Silva. The Road Not Taken. On Husserl’s Philosophy of Logic and Mathematics. College, 2013.
Maddy, Penelope. Naturalism in Mathematics. Clarendon, 1997.
Rang, B. y W. Thomas. “Zermelo’s Discovery of the ‘Russell Paradox'”. Historia Mathematica, vol. 8, núm. 1, febrero de 1981, pp. 15-22.
Tile, Mary. The Philosophy of Set Theory: An Historical Introduction in Cantor’s Paradise. Dover, 1989.
La revolución analítica de Bolzano en la geometría no fue la única ocurrida en esos tiempos ni fue una solitaria refutación de la filosofía kantiana. Al contrario, formaba parte de unos enormes cambios en el ámbito de las matemáticas que fueron acelerando en el siglo XIX y que representaron unos enormes retos para el siglo XX.
La geometría ya estaba experimentando unos enormes cambios desde el siglo XVI y que ni tan siquiera los geómetras y filósofos de la época pudieron entender por completo sus implicaciones. El psicologismo y el kantianismo privilegiaban el espacio euclideano con tres dimensiones como un sine qua non de todo conocimiento. En algunos casos, pensaban que solamente ese tipo de geometría podía ser la única legítima. Sin embargo, sigilosamente, varios matemáticos de los siglos XVIII y XIX les serruchaban esos soportes filosóficos.
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Un jesuita asombrado
Durante el siglo XVIII, este libro apareció para despertar la curiosidad de varios matemáticos de ese siglo y el posterior. Su autor, Giovanni Girolamo Saccheri (1667-1733), dedicó gran parte de su vida académica a explorar la posibilidad de probar la verdad absoluta de la geometría euclideana. Este intelectual fue ordenado jesuita en 1685 y se dedicó a la erudición escolástica y matemática. Su propósito era el de establecer la unicidad de la geometría euclideana.
Como tal, la geometría euclideana (al menos antes de Bolzano) no adoptaba la forma lógica o analítica que conocemos hoy día. Sin embargo, sí podía presentarse en forma deductiva y podía probarse vía Reductio ad Absurdum. Este campo descansa en gran parte en lo que se conoce como el “axioma de las [líneas] paralelas”, formulada por Euclides como un quinto postulado de su sistema tal como lu publicó en su obra titulada: Los elementos. El llamado “axioma” dice lo siguiente:
Dadas dos líneas a y b que son intersecadas por una línea c, si ay b no forman un ángulo recto en relación con c, a y b se intersecarán en un momento dado al extenderse indefinidamente.
El archivo original de esta imagen se encuentra aquí.
La pregunta de Saccheri era la siguiente: ¿es lógicamente posible algún tipo de geometría en el que no valga el “axioma de las paralelas”? Tenía una fuerte convicción de que ese no era el caso; que un espacio no euclideano era simplemente imposible. Para su sorpresa, cuando llevó a cabo su procedimiento mediante Reductio ad absurdum descubrió accidentalmente de que sí era lógicamente posible una geometría donde no valiera dicho axioma.
Aun así, a pesar de esta prueba, Saccheri afirmaba con seguridad de que un espacio no euclideano no corresponde al mundo actual, por lo que elaborar una geometría basada en ello sería una actividad fútil. Su obra sobre su famosa demostración se publicó en 1733, unos meses antes de su muerte.
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Los genios de la geometría no euclideana
A la izquierda, Carl Friedrich Gauß y a la derecha Ferdinand Karl Schweikart.
Los matemáticos alemanes Carl Friedrich Gauß (1777-1855) y Ferdinand Karl Schweikart (1780-1857) elaboraron más en torno a la geometría no euclideana y llegaron a conclusiones similares, aunque sin publicar sus respectivas obras y sin que uno supiera lo que hacía el otro.
No solamente los dos levantaron serias dudas en torno al llamado “axioma” de las paralelas (que después de Saccheri no se consideraba tan “axioma” como antes), sino que mostraron que se podía desarrollar una geometría distinta.
Un equivalente al axioma de las paralelas, el axioma de Playfair, que nos dice lo siguiente:
Dada una línea a y un punto P no colineal, solamente puede pasar una línea b paralela a ella.
Teniendo en consideración algunas observaciones de Schweikart de la posibilidad de espacios en los que la suma de los ángulos de un triángulo eran menores de 180⁰, Gauß pudo demostrar matemáticamente que, dado el hecho de que el “axioma” de las paralelas no era lógicamente necesario, pueden existir espacios en los que pasan más de una línea paralela a la línea a por un punto P.
Ambos genios matemáticos sembraron la semilla para el desarrollo ulterior de la geometría hiperbólica. Esta fue elaborada por dos matemáticos por separado: el matemático húngaro, János Bolyai (1802-1860), cuyo padre conoció bien a Gauß y a un matemático ruso, Nikolai Lobachevsky (1792-1856), quien fue influenciado por un maestro amigo de Gauß.
A la izquierda János Boyai, a la derecha Nikolai Lobachevsky.
La geometría hiperbólica describe lo que Gauß denominaba “de curvatura negativa”. En este tipo de curvatura, a diferencia del espacio euclidiano, la suma de los ángulos de un triángulo es siempre menor de 180⁰.
Representación de un espacio hiperbólico
No fue hasta Eugenio Beltrami (1835-1900) que se pudo mostrar que el la geometría hiperbólica era consistente.
Bernhard Riemann
Sin embargo, la geometría hiperbólica y la exploración de espacios hiperbólicos en general no agotó la totalidad de espacios no euclidianos. Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866), un matemático alemán que enseñaba matemáticas en la Universidad de Göttingen, estuvo explorando los espacios elípticos, es decir, aquellos “de curvatura positiva”. En dichos espacios, la suma de los ángulos de un triángulo es siempre mayor a 180⁰.
Representación de un espacio esférico
Sin embargo, la aportación de Riemann fue mucho más que la de explorar un tipo de espacio. Tal vez, una de las más importantes fue su noción de multiplicidad, concepto que llegaría ser fundamental para formular la teoría general de la relatividad décadas después. Riemann utilizó el cálculo diferencial para la exploración de “multiplicidades” espaciales, es decir, diferentes superficies espaciales en todo tipo de espacio posible. Para todos los efectos, desarrolló la topología espacial, no solo de espacios euclideanos y no euclideanos, sino también aquellos de múltiples dimensiones (lo que llegó a denominarse n-dimensiones). Esta teoría de las multiplicidades es el corazón de la geometría riemanniana.
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La relación entre la geometría no euclideana y las ciencias naturales
Las reacciones de otros filósofos, matemáticos y filósofos no se hicieron esperar. Hubo toda una variedad de reacciones ante este y otros desarrollos de la geometría analítica y la geometría no euclidiana. Una muy buena parte de los mejores filósofos no matemáticos descartaban la importancia de estos desarrollos. El científico y brillante filósofo de las ciencias Pièrre Duhem (1861-1916) se expresaba totalmente en contra ellos, lo que no es sorpresa dado que se opuso a la teoría general de la relatividad en años cercanos a su muerte en 1916.
El neokantismo también rechazaba esta posición. Aunque Kant sí estaba abierto a una “geometría suprema” –a la que distinguía de la geometría euclidiana– algunos de sus representantes tales como Paul Nartorp utilizaba el argumento kantiano de las contrapartidas incongruentes como fundamento intuitivo de la geometría. Para Kant, el espacio, como forma de la intuición, debía concebirse newtonianamente, es decir, como un absoluto en el que se encuentran los objetos. Esta es una condición de posibilidad (a priori) de las contrapartidas incongruentes, es decir, la posibilidad de que constituyan objetos semejantes en todo aspecto, excepto en su orientación espacial opuesta. Por ejemplo, imagínese estar frente a frente con otra persona idéntica a usted en todos los aspectos. Alguien que hiciera una aproximación leibniciana, es decir, puramente relacional, diría que los dos son puramente idénticos en todos los aspectos. Sin embargo, en un espacio como marco de referencia absoluto no son totalmente idénticos, ya que la orientación de ambas es distinta. Por tanto, un espacio de tres dimensiones euclidiano es una condición de posibilidad de toda intuición sensible.
En otros casos, como el del matemático y físico Henri Poincaré (1854-1912), se podría percibir un tipo de tensión con este tipo de geometría en su relación con las ciencias empíricas. A pesar de los avances analíticos de este campo, es notoria su perspectiva de las matemáticas en general como ciencias sintéticas, cuyas definiciones y nociones son adoptadas por convención. Desde su perspectiva, él atacaba varias de las ramas de las matemáticas adoptadas en su tiempo, tales como la teoría de conjuntos desarrollada por Georg Cantor (1845-1918). El sentimiento general de los pensadores de la época era que la geometría no euclideana no tenía valor científico en lo absoluto. Aunque Poincaré era afín a este punto de vista, en su obra, Ciencia e hipótesis (1904), pudo distinguir entre las dimensiones lógicas y epistemológicas de la geometría no euclidiana.
Para cuando escribió su obra, los matemáticos en general contemplaban el espacio euclideano como uno de uno de infinitos espacios lógicamente posibles. Estas posibilidades debían distinguirse del espacio físico actual, cuya figura se determinaba empíricamente. Decía Poincaré, que era perfectamente posible suponer un espacio no euclideano –un espacio más complicado que el euclideano– para la adopción de alguna teoría más simple que la que se asumiría si se supusiera un espacio euclideano. A pesar de esta observación, choca que él mismo afirmaba que era altamente improbable que estas posibilidares se tornasen en una realidad.
Albert Einstein mostraría eventualmente que, en este último punto, Poincaré estaba rotundamente equivocado.
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Bibliografía
Gillies, Donald. Philosophy of Science in the Twentieth Century: Four Central Themes. Blackwell, 1993.
Harrison, Edward. Cosmology: The Science of the Universe. Cambridge UP, 2000.
Kant, Immanuel. Principios metafísicos de la ciencia de la naturaleza. Alianza, 1989.
—. Prolegómenos a toda metafísica del futuro. Traducido por Julián Besteiro y A. Sánchez Rivero, Losada, 2005.
Poincaré, Henri. Science and Hypothesis. Walter Scott, 1905.
Torretti, Roberto. Manuel Kant. E de la U de Chile, 1967.
—. Philosophy of Geometry from Riemann to Poincaré. Kluwer, 1984.
—. The Philosophy of Physics. Cambridge UP, 1999.
Van Fraasen, Bas. An Introduction to the Philosophy of Space and Time. Columbia UP, 1985.
De los días 18 de enero al 9 de febrero, la profesora Ninoshka Coll está llevando a cabo una exposición de arte en la Biblioteca de la Universidad de Puerto Rico en Cayey, de lunes a viernes de 8:00am a 4:00 en el tercer piso de su biblioteca. La apertura será el día de hoy a las 11:00 de la mañana.
El ser humano es dos cosas, un animal moral y un animal ético. Muchos eticistas distinguen dos nociones a las que se les han asignado diversos términos, pero aquí adoptaremos las de “moral” y “ética“. Por la primera, entenderemos los usos y costumbres sociales, mientras que en el caso de la última entenderemos por el acto correcto o bueno. Pueden haber normativas morales que son antiéticas (e.g. la circuncisión femenina) o comportamientos éticos que cierta sociedad pueden considerar inmorales (e.g. el racismo como algo aceptable en ciertas sociedades).
Existen muchos animales no humanos que son morales y cuya herencia genética y su interacción social permiten que ellos actúen de acuerdo a ciertos valores morales primordiales, especialmente el de justicia. El primatólogo y etólogo Frans de Waal, nos muestra con claridad el hecho de que a pesar de que nuestros primos genéticos como los chimpancés, los bónobos y otros más lejanos como los elefantes o ciertas especies de pájaros tienen comportamientos egoístas, a la misma vez gozan de un cierto sentido de justicia y, en algunos casos, de genuino altruismo.
Este es el mismo sentido innato de justicia que compartimos los seres humanos. Sin embargo, de entre los simios y de los animales a nivel mundial, los seres humanos somos seres éticos. Esto significa dos cosas:
Que los seres humanos podemos prever las consecuencias de nuestras acciones a largo plazo y, con base en eso, podemos tomar decisiones racionales al respecto;
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Significa también que podemos evaluar de manera crítica los valores morales individuales o sociales que consideramos fundamento de nuestras acciones.
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Disposiciones natas al egoísmo y a la justicia
Una de las cosas que cierta gente suele afirmar sin reparos es el hecho de que los seres humanos en general somos egoístas. Hasta muchos están dispuestos a aceptar que es una característica innata. Sin embargo, no pensamos lo mismo del tema de la justicia. Hasta hay muchos economistas que trabajan con los llamados “modelos de selección racional” que suponen que todo ser humano actúa solo según consideraciones egoístas.
Esto se puede refutar muy fácilmente con teoría de juegos. Uno de los juegos mejor conocidos es el Juego del ultimátum. Digamos que tengo a dos estudiantes sentados ante mí y tengo cien billetes de $1.00 conmigo. Yo le doy los cien billetes al estudiante A y doy las siguientes instrucciones:
“Propón una división de los billetes de la manera que desees al estudiante B. Si ambos están satisfechos, se pueden quedar ambos con el dinero. Si el estudiante B no acepta, entonces el dinero me lo devuelven y ustedes se quedan sin nada.”
Los modelos de selección racional que utilizan varios economistas predicen que el estudiante A propondrá repartir el dinero de tal manera que él se quede con $99.00 y el estudiante B con $1.00; este último aceptará las condiciones porque tener $1.00 es mejor que no tener nada. Eso no es lo que vemos en la práctica. Usualmente se acepta que el dinero se reparta $50.00-$50.00, o algo así como $60.00-$40.00, pero si se sugiriera $90.00-$10.00, entonces la distiribución es rechazada y ambos se quedan sin dinero. El estudiante B preferiría no tener nada a aceptar un dinero que entiende que ha sido repartido injustamente. Esto se parece a uno de los casos con los monos capuchinos que vemos en el vídeo de Frans de Waal.
El juego del ultimátum es particularmente útil para entender un fenómeno que se manifiesta en el mercado y que las ideologías del conservadurismo libertario o el de la izquierda política progresista parecen no entender muy bien: el fenómeno de la redistribución de riquezas.
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Ronald Coase y su crítica a la aproximación moral y ética de externalidades mutuas
Ronald Coase. Foto cortesía del Coase-Sandor Institute for Law and Economics, de la Escuela de Derecho de la Universidad de Chicago
Uno de los grandes genios de la economía del siglo XX, Ronald Coase (1910-2013), con sus rechazos a ciertas políticas gubernamentales y su debate con otro gran economista, A. C. Pigou (1877-1959), trabajó el tema de lo que llamó “externalidades“. Por “externalidades” (negativas) entendemos el costo asumido por algún tercero como resultado de una transacción particular.
En el brillante, aunque marcadamente sesgado –y algo malinformado– documental The Corporation, se trata profundamente el tema de las externalidades corporativas. A medida que las corporaciones “internalizan” las ganancias, externalizan los costos por razones de competencia. Estos son asumidos por la sociedad produciendo enormes daños individuales y colectivos: contaminación del ambiente, emisiones de gases de efecto de invernadero, “sweatshops“, guerras internacionales por razón de materia prima y combustibles, privatización del agua, terminación de sindicatos, reducción exagerada del gobierno, la reducción del estado benefactor, entre otros.
Algunos en la derecha política y el conservadurismo libertario piensan que muchas veces ese costo social es necesario para el avance de la economía. En el caso de la izquierda política, algunos piensan que la redistribución de riquezas de las enormes ganancias corporativas y, en algunos casos, la terminación de los beneficios corporativos y del capitalismo son las mejores soluciones. En muchos casos, se quieren penalizar a las corporaciones como “victimarias” para compensar a las “víctimas”.
No cabe duda de que la mayoría de los casos las corporaciones tienen una responsabilidad ética de reparar los daños provocados. Sin embargo, cabe la pregunta de si el marco moral o ético de “víctima” vs. “victimario” es adecuado cuando tratamos el tema de las externalidades. También cabe preguntarse si las corporaciones serían disfuncionales bajo un esquema de redistribución de riquezas. Tal vez Coase nos ayude a entender el problema de fondo.
En 1959, publicó un artículo extenso (de cuarenta páginas) titulado “The Federal Communications Commission” en la revista The Journal of Law & Economics., donde argumentaba en contra de ciertas políticas de concesión o denegación de licencias a estaciones de comunicación. En ocasiones unas frecuencias radiales afectaban a las otras, lo que llevaba a toda serie de conflictos de índole económicos y políticos. En este último caso, se argumentaban violaciones a “la libertad de expresión”. Los casos se tornaban en principio adversativos y se atendían de esa manera en los tribunales bajo el marco de “víctima” o “el victimario”.
Coase retó ese esquema legal porque esto no se trata de “víctimas” y “victimarios”, no es un problema ético sino fundamentalmente económico, un problema de externalidades recíprocas. La economía no es otra cosa sino el manejo inteligente y eficiente de recursos escasos. Las frecuencias de radio, el área que se transmiten, entre otros, son recursos escasos. Por ende, a medida que aumentaban las estaciones de radio por unidad de área, confligían las frecuencias de las estaciones entre sí. Ninguno es “víctima” o “victimario”, sino que todo es resultado de mala distribución de frecuencias y sus limitaciones. De acuerdo con Coase, estas regulaciones de la FCC estaban desenfocadas. Al contrario, el estado no debía regularlas de esa manera, sino más bien conceder negociaciones libres de las partes en conflicto para que hicieran análisis de costo y beneficio y adoptaran la solución más eficiente a dichos problemas. Tras esto, parecería que Coase está “dejándolo todo al sector privado” y que se dejara actuar a la famosa “mano invisible” de Adam Smith. No necesariamente.
Para ilustrar su propuesta, examinó un caso bien famoso entre un confitero y un médico (Sturges v Bridgman (1879) LR 11 Ch D 852 ) que se encontraban adyacentes. El ruido producido por la maquinaria del confitero no representaba ningún problema hasta que ocho años más tarde de haberse establecido el médico, este decididiera crear una oficina de consultoría en un lugar de su edificio más cercano a la confitería. El ruido interrumpía continuamente las labores del médico, por lo que decidió demandar al confitero. El tribunal decidió que el confitero debía pagarle el costo de las pérdidas al médico.
Coase señala que el juez se equivocó con su decisión, porque utilizó el marco de “víctima y victimario”. Enfatiza el hecho de que determinar quién es la víctima y quién es el victimario no es del todo claro. Al contrario, no se ve claramente por qué el confitero debía pagar si el médico fue el que llevó a cabo los cambios que afectaron su negocio. El área de tolerancia de ruido es un recurso escaso. Sin querer, ambos acabaron externalizándose recíprocamente: uno mediante el ruido y el otro mediante una demanda. Para Coase, aun con todo y la demanda, hubiera sido mucho mejor que ambas partes hubieran negociado mutuamente la salida más eficiente a su situación.
Consideremos la siguiente situación una vez establecidos los derechos legales de las partes. A toda externalidad recíproca se le puede poner un costo (usando los precios de aquella época):
El médico podría rehusar mudarse a otro lugar a un costo de $200.
El confitero podría rehusar su derecho a hacer ruido con su maquinaria a un costo de $100.
No importa quién ganara el caso, todo dependía de la “voluntad de pago” de cada uno. Tal vez, el confitero mismo podría gastar $100 para reducir el nivel de ruido o el médico pagar más de $200 para mudarse de lugar. O el médico podría pagar $100 para que el confitero redujera el nivel de ruido o el confitero pagar $200 para que el médico se mudara. Parecería que la medida más razonable y eficiente entre ambas partes es la de una inversión de $100 (por parte de alguno de los dos o por ambos) para la reducción del ruido del confitero. Si alguna de las dos partes no llegaba al acuerdo, entonces la medida más eficiente sería la del pago por la mudanza del médico.
Coase no veía por qué el mismo razonamiento no se podía aplicar a los casos de externalidades recíprocas en el ámbito de las comunicaciones y sugirió un sistema de negociación de precios en el sector privado en vez de las regulaciones –en ocasiones arbitrarias– de la FCC.
Debido a ciertos debates que surgieron a raíz de este escrito, Coase escribió un año más tarde su famoso ensayo “The Problem of Social Cost” (1960), es decir, el problema de las externalidades. El texto también se publicó en Journal of Law and Economics. Allí elaboró con mucho mejor lujo de detalles este mismo punto. Este es el artículo más citado en la historia de la economía y por ese y otros escritos ganó el Premio Nóbel de Economía en 1991.
Los ideólogos de la derecha política y los conservadores libertarios admiran a Ronald Coase y piensan que ese escrito implica que hay que dejárselo todo al libre mercado y que el estado es realmente un estorbo a negociaciones libres. En otras palabras, hay que dejar que opere la famosa “mano invisible” del mercado, por el que Adam Smith tanto abogaba. Como señala el economista Robert H. Frank en su libro The Darwin Economy, nada más lejos de la verdad.
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La falacia del conservadurismo libertario
Frank argumenta que muchos economistas y políticos que sostienen que Coase es su héroe no han puesto sus ensayos en el contexto de la totalidad de su obra. Durante los años 30, Coase publicó un ensayo muy conocido titulado “The Nature of the Firm” y planteaba que en un muy buen número de casos, la negociación entre partes usualmente era disfuncional (planteaba este problema como explicación del fenómeno de las firmas corporativas, en la que hay un poder supervisor que determinara las reglas para la producción colectiva de mercancías). Lo mismo ocurre en el caso del estado.
El verdadero planteamiento de Coase es el siguiente:
El estado debería asignar a las partes en conflicto sus respectivos derechos para facilitar su negociación libre en el mercado. Sin embargo, cuando el sector privado falla en ello, entonces le corresponde al estado tomar decisiones cónsonas con la producción de un resultado particular de lo que hubiera ocurrido si las dos partes hubieran negociado libre y racionalmente entre ellas.
La razón de por qué Coase estuvo de acuerdo con un esquema de precios –esencialmente un sistema de subastas–, es que reproduciría aproximadamente (con todas sus imperfecciones) lo que ocurriría si las estaciones radiales hubieran negociado racional y libremente entre ellas. La norma general es que los recursos escasos tienen un precio en el mercado, que a su vez dependen de la oferta y la demanda efectiva. Una vez más, esto es un problema económico. Aquellos que tienen más dinero usualmente tienen mayor capacidad y, por ende, voluntad de pago que aquellos que cuentan con menos dinero. Por tanto, el gobierno le cobraría a una estación de radio el uso de la frecuencia y los límites de espacio aéreo para su uso dependiendo de su voluntad de pago por ello mediante algún tipo de impuesto. Su cobro compensaría el costo social por el que incurrirían estaciones o individuos con mucho menos dinero, pero que no pueden acceder al mercado como quisieran. Además, si se implementa un impuesto progresivo, impuestos más altos a aquellas estaciones con más dinero y más bajos para aquellas con menos dinero brindarían mayores oportunidades y espacios para estas últimas. En efecto, sería, en cierto sentido, una política de redistribución de riquezas.
Desde un punto de vista ético, no es válido el planteamiento de que “todo el mundo tiene derecho a su riqueza” o que “todo impuesto es un robo”. Los que argumentan así se les olvida que no hay un derecho ético a la propiedad o la riqueza. Como bien argumentan Liam Murphy y Thomas Nagel en su libro The Myth of Ownership, solo con la existencia del estado puede asignarse lo que es “propiedad” de alguien, pero no de acuerdo con el objetivo de protegerla a toda costa como valor absoluto, sino como medio para el fin último: el bienestar social. Siguiendo el esquema de Coase, deberíamos formular leyes de propiedad de tal manera que reproduzcan lo que individuos racionales hubieran negociado libremente si hubieran tenido la oportunidad … esto incluye la redistribución de riqueza para resolver problemas externalizantes debido a la naturaleza imperfecta del mercado y sus estructuras.
Y aunque el sector privado, especialmente los conservadores fuertemente asociados a las grandes corporaciones, juren que la redistribución de riquezas es una mala idea, el gran secreto es que ellas mismas la ponen en práctica y no lo saben.
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Redistribución de riquezas en el sector privado
Desde hace varias décadas, muchos economistas se han percatado que en la mayoría de los sectores económicos, sean públicos o privados, existe un fenómeno conocido como “compresión de salarios”. La siguiente gráfica nos dará una idea de lo que se trata:
De acuerdo con la economía clásica, se supone que a un obrero se le paga un salario proporcional a su nivel de producción. Mientras mayor sea la producción, mayor es el salario; menor producción, menor salario. Se ha podido percatar en todo el mercado que, en términos absolutos, aquellos que más producen reciben más que los que menos producen. Sin embargo, esto no ocurre en proporción 1:1 como se solía pensar. Al contrario, aunque en términos absolutos aquellos que producen más reciban mayor salario, en términos relativos aquellos que producen menos reciben mayor salario en proporción a lo que producen, mientras que aquellos que producen más reciben menor salario en proporción a lo que producen. El resultado es que en cada grupo laboral (el A, B y C) encontramos una compresión salarial.
¿Por qué es esto así? La respuesta se halla en nuestro innato sentido de equidad y justicia ante un problema de externalidades recíprocas, tal como Coase lo había descrito en sus obras. El ser humano es complejo y no necesariamente todos los individuos están movidos estrictamente por razón de maximizar sus ganancias o tener un alto puesto. Aquellos que les interesa un alto puesto, pero no ganar mucho dinero, usualmente gravitan a un grupo como el de A. Aquellos que les interesa el dinero, pero no el alto puesto, usualmente terminan en un grupo laboral como el de C. Finalmente, aquellas personas con intereses mixtos tienden a un grupo como el de B. Mejor que cualquier otro sistema, el capitalismo tiene la virtud de ser flexible ante estas consideraciones humanas, aunque la distribución de personas en estos grupos laborales no sea perfecta.
Frank ha resaltado la situación relacional entre cada grupo laboral considerada como sociedad local. En cada grupo podemos ver la compresión salarial a nivel local. Aquellos que están en un puesto mayor suelen ser un número de individuos mucho más pequeño que los que están en un puesto más bajo. El estar en una posición de mayor producción es un bien escaso al que solo unos pocos miembros del grupo laboral tendrán acceso. Por la naturaleza de los bienes escasos, combinada con el sentido de justicia y equidad de los individuos, se establece una situación de externalidades recíprocas. La estructura per se es la que lo permite: si existe un alto puesto, entonces necesariamente tiene que existir un bajo puesto; si el alto puesto solo lo pueden ocupar un pocas personas, eso significa necesariamente que la mayoría no la puede ocupar. El del alto puesto fuerza al de bajo puesto a estar en un bajo puesto (perdonando la redundancia). Eso es un costo, una externalidad.
Muchos podrían justificar la proporción 1:1 de producción y salario con base en que los trabajadores en un alto puesto “se lo merecen”, han trabajado bien duro para estar en su lugar de trabajo. Sin embargo, como Frank ha señalado en su libro más reciente, Success and Luck(2016), esa manera de pensar pasa por alto el rol que tienen las situaciones accidentales y azarosas a la hora de llegar a una posición de éxito. Alguien puede llegar a una posición de éxito por:
Porque se lo merece.
Porque es amigo del jefe.
Porque se lo merece, aunque muchos otros individuos en el grupo también se lo merezcan.
Porque aparecieron unas circunstancias accidentales en los que X era más indicado, aunque antes de ese incidente hubiera sido Y.
Porque el jefe quería que X tuviera el puesto, pero como tuvo un accidente, puso a Y.
Porque X tuvo un problema emocional en su alto puesto, tuvieron que sustituirlo con Y.
… etc.
Aquellos que producen menos pueden percibir una situación de un alto nivel de inequidad por lo que los predispone producir mucho menos. Esto lleva a que la totalidad del grupo produzca menos aun cuando aquellos en un alto puesto produzcan más. La falta de esta disposición a aceptar una posición de inequidad es otra forma del mismo problema que notamos cuando discutimos el juego del ultimátum. Esto a la larga le cuestaal grupo entero, incluyendo a los que están en alta posición. Esto sería también una externalidad.
Pues, el remedio económicamente más eficiente para tratar este problema de externalidad recíproca es la redistribución de riquezas. Mediante la compresión de salarios, las compañías en general crean exactamente el equivalente a una transferencia de ingresos de aquellos que producen más a aquellos que producen menos. En otras palabras, la misma industria sigue el consejo de Coase: producen una situación de lo que hubiera ocurrido si aquellos que producen más y aquellos que producen menos hubieran negociado libre y racionalmente en torno a su problema de externalización recíproca.
¿Funciona? Esta normativa adoptada por toda la industria nos deja ver que sí. Para todos los efectos, para maximizar sus ganancias, las compañías mismas se convierten algo equivalente a un miniestado benefactor.
A la izquierda G. W. Leibniz y a la derecha Isaac Newton. Ambos desarrollaron el cálculo infinitesimal por separado, lo que llevó al segundo de acusar de plagio al primero. En el medio, una página de la obra de Leibniz, Nova methodus pro maximis et minimis, donde desarrolló su propuesta (1684), publicada antes de la obra de Newton, De analysi per aequationes numero terminorum infinitas (1711).
Uno de los más graves problemas del siglo XIX es la manera en que el desarrollo de ciertas áreas de las matemáticas parecían corroborar la tesis kantiana de que sus juicios se fundaban todos en la intuición pura (tiempo y espacio puro de todo contenido empírico) y no exclusivamente en la razón deductiva no intuitiva (analítica a priori).
El obispo George Berkeley, filósofo empirista
Aunque parezca increíble, lo mismo se planteaba en torno al cálculo desarrollado por G. W. Leibniz e Isaac Newton. Según algunos filósofos de la época, el éxito de esa disciplina era constatable en la filosofía natural de Newton. Gracias a ella, se pudo elaborar con mayor rigurosidad su teoría gravitacional.
No obstante ello, el cálculo parecía una aberración. Con su noción de “límite”, el cálculo traía a colación la convergencia gráfica a unos números específicos ad infinitum sin jamás llegar a ellos. Dependiendo de la ecuación, podríamos encontrar el caso de una razón con una variable en su denominador y cuyo límite implicara un acercamiento infinito al número cero, pero sin llegar a él (una división por cero es imposible). Como si no fuera suficiente, el cálculo era la manera en que se podía describir con ecuaciones, el movimiento de una partícula en un plano cartesiano. Además, se hablaba del “fluido” de las líneas, entre otras extrañezas. El famoso filósofo empirista y obispo anglicano, George Berkeley (1685-1753), comparó este fenómeno matemático con las especulaciones teológicas, medievales y absurdas que eran remanentes o “fantasmas” de las discusiones sobre lo “infinitamente grande o pequeño”. Para él, estas nociones del cálculo son claras y distintas para la razón, pero no tienían base alguna en la experiencia.
Más adelante, vía la obra de Joseph-Louis Lagrange (1736-1813), específicamente su Teoría de las funciones matemáticas (1797), se logró establecer una cierta unificación del cálculo matemático con el álgebra para que estas infinitudes se volvieran mejor inteligibles y aceptables desde el punto de vista matemático. Esto sacaría a la noción extraña de “límite” de la oscuridad “metafísica” que le caracterizaba. Como diría el erudito José Alberto Coffa, el acercamiento de Lagrange no remedió esta oscuridad y por tal razón, fue muy criticado, especialmente por haber utilizado un acercamiento analítico y no constructivista.
La resolución de Bolzano: El rigor analítico
Bernard Bolzano
Sería Bernard Bolzano el que retomaría este problema y seguiría la ruta trazada por Lagrange, pero desde una perspectiva distinta. Como dijimos en nuestro artículo anterior de esta serie, él postulaba la existencia (una ontología) de los significados en sí o de las proposiciones en sí. Por ende, profesaba una suerte de realismo en la modalidad de platonismo. Sin embargo, esto no agotaba en lo absoluto los tipos de entidades existentes en un plano abstracto y atemporal. Bolzano pensaba que los objetos de las matemáticas (especialmente la aritmética y el cálculo) compartían este mismo estatus y que podían probarse analíticamente por la pura razón sin necesidad de recurrir a alguna doctrina construccionista de la “intuición pura” kantiana.
Hay aserciones matemáticas verdaderas, pero no evidentes y cuya verdad necesitaba ser probada. Eran esencialmente conjeturas que podrían considerarse teoremas potenciales. Para probarlas, no hay que recurrir para nada a nociones geométricas espaciales en la intuición pura. Son verdades analíticas, según su definición de analiticidad. Las gráficas del cálculo no representan en última instancia “flujos” o “dinámicas” espaciales (como alegaba Newton). Podríamos eliminar de nuestra consideración todo elemento espacial y tratar las ecuaciones del cálculo de manera puramente analítica.
Finalmente, en 1817, el genial matemático Bolzano, logró probar con todo rigor que:
… existe una función f(x) tal que si x es un valor, entonces la diferencia f(x + w) – f(x) puede ser cada vez más pequeña que cualquier cantidad que le asignemos a w (Bernard Bolzano, “Rein analytischer Beweis des Lehrsatzes,” en Bernard Bolzano, Early Mathematical Works (1781-1848), editado por L. Novy (Praga: Institute of Czechoslovak and General History CSAS, 1981), 427-428.)
Hoy día, los matemáticos utilizan las definiciones delta (δ) y epsilón (ε) de continuidad (Coffa 1998, 28). También allí, probó por primera vez el Teorema del valor intermedio (como cortesía hacia los lectores, evitaré algunos tecnicismos matemáticos):
Teorema: Si f(x) es una función continua en un intervalo cerrado [a,b], con f(a) y f(b) con signos opuestos, entonces existe un punto c entre a y b en el que f(c) = 0.
Prueba: Supongamos que f(a)<0<f(b). Supongamos también que hay una secuencia de números reales S en el que x es cualquier número entre a y b (incluyendo a ambos) y cuyo f(x)<0. Esta secuencia no está vacía y está acotada por b, así que tiene al menos una cota superior c. Hay tres posibilidades:
f(c) < 0. Si este es el caso, entonces hay un intérvalo cercano a c en el que f(x)<0 para todo intérvalo incluyendo a aquellos que son mayores que c. Esto contradice el supuesto de que c es la cota superior.
f(c) > 0. Si esto es verdad, entonces hay un intérvalo abierto cercano a c en que f(x)>0 para todo intérvalo, incluyendo a los menores de c. Sin embargo, esto es imposible porque ya definimos a c como la menor de todas las cotas superiores, por lo que f (x) < 0 para todo x menor que c.
f(c) = 0. Las otras dos posibilidades quedan excluidas, por lo que nos resta esta opción. QED.
Varios años más adelante, el matemático francés, Augustin Louis Cauchy también ofreció otra demostración del mismo teorema (1821).
Sin embargo, en realidad, el teorema anterior puede considerarse una instancia de otro teorema mucho más general:
Teorema: Si f(x) es una función continua en un intervalo cerrado [a,b], en el que f(a)<u<f(b), entonces existe un punto c entre a y b en el que f(c) = u.
Las consecuencias filosóficas de las pruebas de Bolzano
Fuera de la fascinante historia matemática, todo esto apuntaba a un error fundamental de la filosofía kantiana. Su semántica estaba rotundamente equivocada cuando limitaba a la analiticidad de las proposiciones (incluyendo a las matemáticas) a la estructura de sujeto-predicado. Sin embargo, lo más fundamental es que no hacía falta apelar de manera alguna a las famosas “intuiciones puras” de tiempo o espacio impuestas por la mente humana para validar los teoremas matemáticos de una manera absolutamente certera.
Esto también tenía otras implicaciones filosóficas inesperadas para los seguidores cientificistas y naturalistas kantianos. Desde el punto de vista epistemológico, Bolzano pudo demostrar que nadie sabía si un teorema era verdadero hasta que finalmente se pudiera probar. Es decir, las matemáticas constituyen verdadero conocimiento. Esto afirmaba la convicción platonista de Bolzano: existen verdades matemáticas en sí que nadie conoce hasta que se conciben en el entendimiento y se conocen por autoevidencia o por prueba matemática. Es más, dichas verdades nos hablan de unas entidadesmatemáticas. Si estas proposiciones son verdaderas, es porque dichas entidades existen.
El psicologismo nunca estaría de acuerdo con esta posición. Sin embargo, vinieron otros filósofos y matemáticos que socavaron más los fundamentos kantianos y psicologistas del siglo XIX.
Bibliografía
Brown, James Robert. Philosophy of Mathematics: A Contemporary Introduction to the World of Proofs and Pictures. NY: Routledge, 2008.
Coffa, José Alberto. The Semantic Tradition from Kant to Carnap: To the Vienna Station. Cambridge: Cambridge University Press, 1998.
Durante el siglo XVIII, este libro apareció para despertar la curiosidad de varios matemáticos de ese siglo y el posterior. Su autor, Giovanni Girolamo Saccheri (1667-1733), dedicó gran parte de su vida académica a explorar la posibilidad de probar la verdad absoluta de la geometría euclideana. Este intelectual fue ordenado jesuita en 1685 y se dedicó a la erudición escolástica y matemática. Su propósito era el de establecer la unicidad de la geometría euclideana.
Departamento de Humanidades - UPR en Cayey 