Los comienzos de la filosofía del siglo XX – 3

Publicaciones de la serie: 1, 2

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©2016, Pedro M. Rosario Barbosa

El cálculo como problema metafísico

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A la izquierda G. W. Leibniz y a la derecha Isaac Newton. Ambos desarrollaron el cálculo infinitesimal por separado, lo que llevó al segundo de acusar de plagio al primero. En el medio, una página de la obra de Leibniz, Nova methodus pro maximis et minimis, donde desarrolló su propuesta (1684), publicada antes de la obra de Newton, De analysi per aequationes numero terminorum infinitas (1711).

Uno de los más graves problemas del siglo XIX es la manera en que el desarrollo de ciertas áreas de las matemáticas parecían corroborar la tesis kantiana de que sus se fundaban todos en la intuición pura (tiempo y espacio puro de todo contenido empírico) y no exclusivamente en la razón deductiva no intuitiva (analítica a priori).

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El obispo George Berkeley, filósofo empirista

Aunque parezca increíble, lo mismo se planteaba en torno al cálculo desarrollado por G. W. Leibniz e Isaac Newton. Según algunos filósofos de la época, el éxito de esa disciplina era constatable en la filosofía natural de Newton. Gracias a ella, se pudo elaborar con mayor rigurosidad su teoría gravitacional. No obstante ello, el cálculo parecía una aberración. Con su noción de “límite”, el cálculo planteaba la convergencia gráfica a unos números específicos ad infinitum sin jamás llegar a él. Dependiendo de la ecuación, podríamos encontrar el caso de una razón con una variable en su denominador y cuyo límite implicaba un acercamiento infinito al número cero, pero sin llegar a él (una división por cero es imposible). Como si no fuera suficiente, el cálculo es la manera en que podía describir con ecuaciones el movimiento de una partícula en un plano cartesiano. Además, se hablaba del “fluido” de las líneas, entre otras extrañezas. El famoso filósofo empirista y obispo anglicano, George Berkeley (1685-1753), comparó este fenómeno matemático con las especulaciones teológicas y absurdas que eran remanentes o “fantasmas” de lo “infinitamente grande o pequeño”. Para él, estas nociones del cálculo son claras y distintas para la razón, pero no tienen base alguna en la experiencia.

Más adelante, vía la obra de Joseph-Louis Lagrange (1736-1813), específicamente su Teoría de las funciones matemáticas (1797), logró establecer una cierta unificación del cálculo matemático con el álgebra para que estas infinitudes se volvieran mejor inteligibles y aceptables desde el punto de vista matemático. Esto sacaría a la noción extraña de “límite” de la oscuridad “metafísica” que le caracterizaba. Como diría el erudito José Alberto Coffa, el acercamiento de Lagrange no remedió esta oscuridad y por tal razón, fue muy criticado, especialmente por haber utilizado un acercamiento analítico y no constructivista.

La resolución de Bolzano: El rigor analítico

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Bernard Bolzano

Sería Bernard Bolzano el que retomaría este problema y seguiría la ruta trazada por Lagrange, pero desde una perspectiva distinta. Como dijimos en nuestro artículo anterior de esta serie, él postulaba la existencia (una ontología) de los significados en sí o de las proposiciones en sí. Por ende, postulaba una suerte de realismo en la modalidad de platonismo. Sin embargo, esto no agotaba en lo absoluto los tipos de entidades existentes en un plano abstracto y atemporal. Bolzano pensaba que los objetos de las matemáticas (especialmente la aritmética y el cálculo) compartían este mismo estatus y que podían probarse analíticamente por la pura razón sin necesidad de recurrir a alguna doctrina construccionista de la “intuición pura” kantiana. Hay aserciones matemáticas verdaderas, pero no evidentes y cuya verdad necesitaba ser probada. Eran esencialmente conjeturas que podrían considerarse teoremas potenciales. Para probarlas, no hay que recurrir para nada a nociones geométricas espaciales en la intuición pura. Son verdades analíticas según fue definida por él (y que vimos en nuestro segundo artículo de la serie). Las gráficas del cálculo no representan en última instancia “flujos” o “dinámicas” espaciales (como alegaba Newton). Podríamos eliminar de nuestra consideración todo elemento espacial y tratar las ecuaciones del cálculo de manera puramente analítica.

Finalmente,en 1817, el genial matemático Bolzano, logró probar con todo rigor que:

… existe una función f(x) tal que si x es un valor, entonces la diferencia f(xw) – f(x) puede ser cada vez más pequeña que cualquier cantidad que le asignemos a w (Bernard Bolzano, “Rein analytischer Beweis des Lehrsatzes,” en Bernard Bolzano, Early Mathematical Works (1781-1848), editado por L. Novy (Praga: Institute of Czechoslovak and General History CSAS, 1981), 427-428.)

Hoy día, los matemáticos utilizan las definiciones delta (δ) y epsilón (ε) de continuidad (Coffa 1998, 28). También allí, probó por primera vez el Teorema del valor intermedio (como cortesía hacia los lectores, evitaré algunos tecnicismos matemáticos):

Teorema: Si f(x) es una función continua en un intervalo cerrado [a,b], con f(a) y f(b) con signos opuestos, entonces existe un punto c entre y b en el que f(c) = 0.

Prueba: Supongamos que f(a)<0<f(b). Supongamos también que hay una secuencia de números reales S en el que x es cualquier número entre b (incluyendo a ambos) y cuyo f(x)<0. Esta secuencia no está vacía y está acotada por b, así que tiene al menos una cota superior c. Hay tres posibilidades:

  1. f(c) < 0. Si este es el caso, entonces hay un intérvalo cercano a c en el que f(x)<0 para todo intérvalo incluyendo a aquellos que son mayores que c. Esto contradice el supuesto de que c es la cota superior.
  2. f(c) > 0. Si esto es verdad, entonces hay un intérvalo abierto cercano a c en que f(x)>0 para todo intérvalo, incluyendo a los menores de c. Sin embargo, esto es imposible porque ya definimos a c como la menor de todas las cotas superiores, por lo que f (x) < 0 para todo x menor que c.
  3. f(c) = 0. Las otras dos posibilidades quedan excluidas, por lo que nos resta esta opción. QED.

Varios años más adelante, el matemático francés, Augustin Louis Cauchy también ofreció otra demostración del mismo teorema (1821).

Sin embargo, en realidad, el teorema anterior puede considerarse una instancia de otro teorema mucho más general:

Teorema: Si f(x) es una función continua en un intervalo cerrado [a,b], en el que f(a)<u<f(b), entonces existe un punto c entre y b en el que f(c) = u.

Las consecuencias filosóficas de las pruebas de Bolzano

Fuera de la fascinante historia matemática, todo esto apuntaba a un error fundamental de la filosofía kantiana. Su semántica estaba rotundamente equivocada cuando limitaba a la analiticidad de las proposiciones (incluyendo a las matemáticas) a la estructura de sujeto-predicado. Sin embargo, lo más fundamental es que no hace falta apelar de manera alguna a la famosa “intuición pura” de la mente humana ni sus construcciones para validar los teoremas matemáticos de una manera absolutamente certera.

Esto también tenía otras implicaciones filosóficas inesperadas para los seguidores cientificistas y naturalistas kantianos. Desde el punto de vista epistemológico, Bolzano pudo demostrar que nadie sabía si un teorema era verdadero hasta que finalmente se pudiera probar. Es decir, las matemáticas constituyen verdadero conocimiento. Esto afirmaba la convicción platonista de Bolzano: existen verdades matemáticas en sí que nadie conoce hasta que se conciben en el entendimiento y se conocen por autoevidencia o por prueba matemática. Es más, dichas verdades nos hablan de unas entidades matemáticas. Si estas proposiciones son verdaderas, es porque dichas entidades existen.

El psicologismo nunca estaría de acuerdo con esta posición. Sin embargo, vinieron otros filósofos y matemáticos que socavaron más los fundamentos kantianos y psicologistas del siglo XIX.

Bibliografía

Brown, James Robert. Philosophy of Mathematics: A Contemporary Introduction to the World of Proofs and Pictures. NY: Routledge, 2008.

Coffa, José Alberto. The Semantic Tradition from Kant to Carnap: To the Vienna Station. Cambridge: Cambridge University Press, 1998.

Los comienzos de la filosofía del siglo XX – 2

Publicaciones de la serie: 1

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©2016, Pedro M. Rosario Barbosa

El nacimiento de la semántica

Kant estaba equivocado cuando consideraba a la lógica como {una disciplina} terminada.”
-Bernard Bolzano

El siglo XIX vio nacer una variedad de perspectivas filosóficas sin precedentes hasta ese momento. Ya hemos mencionado a los idealistas alemanes y a los psicologistas. Podemos añadir perspectivas existencialistas –inauguradas por la obra de Søren Kierkegaard– y pensadores que enfatizaban la importancia moral de la voluntad, entre ellos Arthur Schopenhauer y Friedrich Nietzsche, entre otros. Otros campos relacionados con los anteriores incluian los biologistas, antropologistas, economicistas, ficcionistas y otras mentes afines a estas perspectivas.

A pesar de que todas estas constituyeron campos dominantes en la filosofía, casi nadie contaba con la visión admitidamente exótica de un sacerdote checo, filósofo y matemático conocido hoy como Bernard Bolzano.

La obra de Bolzano

Bernard_BolzanoBernhard Placidus Johann Gonzal Nepomuk Bolzano (1781-1848) no parecía ser en su tiempo un candidato a ser de los pensadores más influyentes en el futuro. Durante sus estudios universitarios, estudió filosofía, matemáticas y física. En 1805, se ordenó sacerdote católico después de algunos años de estudios teológicos y laboró como professur ordinarius de la Facultad de Filosofía de la Universidad de Praga. Parte de las razones por las que no se hizo muy popular se debió a su personalidad, especialmente muy inclinada a condenar el militarismo y fomentar las vías pacíficas. Después de ser destituido de su puesto por las autoridades del Imperio Austríaco —como consecuencia de su visión progresista— se le prohibió enseñar o publicar filosofía, teología, lógica y ciencias. Fue exiliado a la ruralía y subsistió gracias a una pensión “graciosa” concedida por el Imperio.

Durante esos años, su salida de la docencia no detuvo su labor intelectual y escribió los cuatro volúmenes de su gran obra Teoría de las ciencias, publicada en 1837. Muy pocos filósofos de su tiempo le prestaron la atención que merecía. Hijo intelectual de Leibniz, Bolzano adoptaba una posición altamente inusual en aquella época: que las matemáticas y la lógica eran dos disciplinas cercanas y analíticas a priori; que ambas eran ciencias formales y deductivas a partir de conceptos. Se apartó de la opinión de Kant de que debía caracterizarse a las matemáticas como campo sintético a priori y trabajó arduamente para buscar unos nuevos cimientos para ese campo en desarrollo desde el siglo XVI y XVII. Estas obras se publicarían en revistas académicas relativamente oscuras y desconocidas. Sin embargo, Bolzano no pudo terminar su empresa. Regresó a Praga en 1842 y murió en 1848.

En un siglo XIX dominado por el idealismo alemán por un lado y los campos cientificistas y positivistas por el otro, su obra casi fue olvidada. Nadie podía sospechar que sería fundamental, no solo para el desarrollo de la lógica, sino también por establecer bases sólidas para el desarrollo de la filosofía del siglo XX.

La lógica y la semántica

En la época de Bolzano, la lógica que se enseñaba era la aristotélica, esto significa que la discusión de este pensador se centraría en tres ámbitos que se distinguen hoy día: la lógica formal, la semántica y la teoría del conocimiento. La semántica per se no existía en aquella época y, contrario a Kant, ese era su enfoque.

Contrario al kantianismo, Bolzano no encontró el fundamento científico en las facultades mentales sino más bien en la lógica y los significados (como veremos más adelante, no usaba ese término). La lógica no es una rama de la psicología, sino más bien una técnica imprescindible para toda ciencia. La lógica está más vinculada a los arreglos de y entre proposiciones que a los procesos psicológicos. Si este es el caso, entonces se debería explorar la naturaleza de las proposiciones en ellas mismas.

Las proposiciones pueden ser verdaderas o falsas con independencia de la mente humana. Por ejemplo, puedo proponer que “en la geometría euclidiana, el cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma del cuadrado de sus catetos”. La proposición expresada siempre será verdadera con independencia de nuestros contenidos mentales. Hay otras oraciones que nos hablan sobre ciertos hechos, por ejemplo, “John F. Kennedy fue asesinado en 1963.” La propuesta de la oración, en otras palabras, la proposición (Satz), es verdadera y siempre lo será aun cuando en el futuro todo el mundo piense algo lógicamente distinto. Finalmente, están aquellas oraciones que expresan verdad, pero solo en virtud de su estructura, por ejemplo, si dijera “Existen los ángeles florentinos o no existen los ángeles florentinos”, la proposición sería verdadera estrictamente hablando, independientemente si dichos seres celestiales existen o no.

De aquí, Bolzano distingue tres tipos de proposiciones verdaderas:

  • Aquellas que son de orden abstracto lógicomatemático y que son verdaderas siempre “en ellas mismas”.
  • Aquellas que nos hablan de un hecho ocurrido en la temporalidad, pero cuyo contenido (significado) permanece siendo verdadero con independencia de los hechos factuales temporales.
  • Aquellas que lo son en virtud de su forma o estructura.

Por otro lado, Bolzano subraya la importancia de no identificar las oraciones (la serie lingüística de signos que expresan proposiciones) con las proposiciones mismas. Hay que distinguir entre el signo de su “contenido”. El signo es físico (visual o auditivo). Su contenido es abstracto. Los signos “2” indoarábigo y “II” romano expresan la misma idea, el mismo contenido. Lo mismo ocurre con las oraciones.

Por otro lado, hay que distinguir entre las proposiciones consideradas en ellas mismas de las “representaciones subjetivas”, estas últimas son imágenes sensibles que nos representamos momentáneamente en la mente y que son puramente subjetivas. Las proposiciones expresadas son distintas al signo o todo lo físico y se hallan desvinculadas de los procesos mentales y temporales. En un sentido muy genuino, podemos hablar de “proposiciones en sí” (Sätze-an-sich) y de “verdades en sí” (Wahrheiten-an-sich) objetivas.

Las ciencias, el conocimiento genuino, busca objetividad. Por ende, aspira a “aprehender” o “captar” proposiciones objetivas, abstractas y lógicamente concatenadas.

A partir de ello, Bolzano identificaba tres ámbitos:

  • En primer lugar, el de los signos lingüísticos, donde encontramos palabras y oraciones.
  • En segundo lugar, las representaciones y los procesos mentales como puramente subjetivos.
  • En tercer lugar, un ámbito objetivo, pero abstracto que persiste “en sí” con independencia de toda ocurrencia del mundo físico y de los sucesos mentales. Esta independencia permite que una proposición sea “captada” o “aprehendida” por diversas mentes y, así, reconocerlas intersubjetivamente.

En términos sencillos, para Bolzano, este ámbito abstracto y atemporal era tan existente como el mundo físico. Aquí nace la tesis principal del realismo semántico contemporáneo, específicamente en la forma platonismo semántico: hay entidades lingüísticas que existen con independencia de la mente humana y los procesos físicos.

Desgraciadamente, otros filósofos pensaron ver matices teológicos detrás de ello, ya que Dios y las almas se consideraban abstractas, una razón por la que su obra fue ignorada por filósofos progresistas, psicologistas, idealistas, materialistas y positivistas de toda Europa. En sus mentes escandalizadas probablemente decían, “¡vuelta al Medioevo, a la edad oscura!”

Desgraciadamente para ellos, la obra de Bolzano sería clave para el avance de la filosofía, la lógica y las ciencias.

Analiticidad y sinteticidad

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Placa dedicada a la memoria de Bernard Bolzano en la Calle Celetná, en Praga.

Si hay proposiciones que son verdaderas solamente en virtud de su forma deductiva y no de su materia, tenemos que preguntarnos acerca de la naturaleza de esta última. Si las proposiciones no pertenecen al dominio de lo psicológico o de las representaciones subjetivas, entonces sus componentes deben pertenecer a  la región de los “en sí”. Bolzano se referiría a ellos bajo el término “representaciones en sí” (Vorstellungen-an-sich). Posteriormente, la tradición semántica les llamaría “significados” (Bedeutungen). Desde esta perspectiva, una proposición en sí no es sino una suerte de “representación en sí” compuesto por unas “representaciones objetivas” más elementales.

Con base en esto, el criterio de analiticidad de Bolzano difiere marcadamente del de Kant. Debido a que la inmensa mayoría de la filosofía de su momento se erigía sobre la Crítica de la razón pura, este nuevo criterio fue ignorado por muchísimo tiempo, teniendo como notable excepción a Edmund Husserl. Para Bolzano, una proposición es lógicamente analítica si es universalmente válida en virtud de su forma y no de sus componentes no lógicos (materiales). Esto no tiene nada que ver exclusivamente con la estructura “sujeto-predicado” como pensaba Kant. Esto tiene que ver exclusivamente con los componentes formales. Cualquiera podría sustituir los componentes materiales de las proposiciones por cuales quiera otros y ellas seguirían siendo verdaderas (o falsas) en virtud de su forma (lo que se conoce en filosofía como sustitución salva veritate).

Si digo, “Si los hombres son mortales y Pablo es hombre, entonces Pablo es mortal”, la proposición sería igualmente verdadera y tan lógicamente analítica que como si dijera “Si los elfos son mortales y Legolas es elfo, entonces Legolas es mortal”.  Esto se debe a que ambas proposiciones comparten la misma forma lógica en la que sustituimos las variables “hombres” y “Pablo” por “elfos” y “Legolas” correspondientemente. El valor de verdad específico (verdadero) no cambia en lo absoluto aun cuando los elfos no existan.

Desde esa perspectiva, la lógica no es a priori en el sentido kantiano de que sus proposiciones son reconocidas puramente por la razón en sí misma, sino porque sus aserciones son verdaderas formalmente hablando. Podríamos pensar la lógica compuesta de proposiciones cuyos componentes materiales pueden ser convertidos en variables en una cadena lógicamente deductiva. Si adoptamos un vocabulario fijo con definiciones fijas para los componentes formales, obtendremos de la lógica una ciencia puramente formal. Esto no se limitaría a la estructura formal “sujeto-predicado” sino también a formas de conjunción, disyunción, implicación, entre otros. Tampoco se restringe en lo absoluto a los silogismos tradicionales aristotélicos sino a cualquier otra forma deductiva. De esta manera, Bolzano sentó las bases para una reforma de la lógica como ciencia formal. Para todos los efectos, Bolzano caracterizaba a las proposiciones como analíticas si son un conjunto ordenado de variables configuradas de tal manera que puedan ser sustituidas objetualmente (es decir, por objetos) salva veritate. De esta manera, cualquier proposición puede ser analíticamente verdadera o analíticamente falsa. Contrario a Kant, para Bolzano, el contenido material de las proposiciones (si un concepto está o no incluido en otro) es irrelevante a la hora de determinar analiticidad.

Toda proposición que no fuera analítica en este sentido, sería sintética. Sin embargo, contrario a sus filósofos contemporáneos, Bolzano aceptaba la existencia de proposiciones sintéticas a priori, pero las caracterizaba de una manera completamente distinta a la de Kant. Desde el punto de vista del idealismo trascendental, lo que importaba era si un concepto estaba o no contenido en otro. En cambio, para Bolzano, esta manera de proceder sería un error fundamental de la aproximación kantiana. Cuando decimos que la suma de los ángulos de un triángulo es 180⁰, no estamos buscando “conceptos dentro de conceptos”. Obviamente esta proposición geométrica es una sintética, pero es una verdad a priori debido a que es necesaria. Aunque él utilizaba alguna aproximación empirista para tratar de justificar su creencia de que los juicios de la geometría eran a priori, no supo con certeza cómo hacerlo. Sin embargo, intuyó que la justificación de la geometría debía ser derivable puramente a nivel conceptual sin asistencia alguna de la experiencia.

De esta discusión, se desprende la distinción entre necesidad y analiticidad. Para Bolzano, tanto las proposiciones analíticas como las sintéticas a priori son necesarias. Las primeras son lógicamente necesarias, mientras que las segundas son no lógicamente necesarias (ejemplo de esta, “Lo que es cuerpo no puede ser inextenso”). Sin embargo, para explicar esta necesidad, recurrió a una noción “empirista” o “casi inductivista” —en el sentido de que cierto arreglo formal o material se entiende como necesario porque ha sido confirmado con argumentos innumerable veces. Por tal razón, su doctrina epistemológica se quedó coja y su teoría de cómo es que captamos proposiciones a priori resultaba ser insatisfactoria.

Continuaremos con Bolzano en nuestro próxima publicación de esta serie.

Bibliografía

Bolzano, Bernard. Theory of Science. Traducido por Paul Rusnock y George Rolf. Oxford: Oxford University Press, 2014.

Coffa, J. Alberto. The Semantic Tradition from Kant to Carnap. To the Vienna Station. Cambridge: Cambridge University Press, 1998.

LaPointe, Sandra. “Bernard Bolzano: Philosophy of Mathematical Knowledge.” Internet Encyclopedia of Philosophyhttp://www.iep.utm.edu/bol-math/.

Morscher, Edgar. “Bernard Bolzano.” The Stanford Encyclopedia of Philosophy. Editado por Edward N. Zalta. Otoño de 2014. http://plato.stanford.edu/archives/fall2014/entries/bolzano/.

Šebestik, Jan. “Bolzano’s Logic.” The Stanford Encyclopedia of Philosophy. Editado por Edward N. Zalta. Primavera de 2016. http://plato.stanford.edu/archives/spr2016/entries/bolzano-logic/.