Los comienzos de la filosofía del siglo XX – 3

Publicaciones de la serie: 1, 2

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©2016, Pedro M. Rosario Barbosa

El cálculo como problema metafísico

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A la izquierda G. W. Leibniz y a la derecha Isaac Newton. Ambos desarrollaron el cálculo infinitesimal por separado, lo que llevó al segundo de acusar de plagio al primero. En el medio, una página de la obra de Leibniz, Nova methodus pro maximis et minimis, donde desarrolló su propuesta (1684), publicada antes de la obra de Newton, De analysi per aequationes numero terminorum infinitas (1711).

Uno de los más graves problemas del siglo XIX es la manera en que el desarrollo de ciertas áreas de las matemáticas parecían corroborar la tesis kantiana de que sus se fundaban todos en la intuición pura (tiempo y espacio puro de todo contenido empírico) y no exclusivamente en la razón deductiva no intuitiva (analítica a priori).

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El obispo George Berkeley, filósofo empirista

Aunque parezca increíble, lo mismo se planteaba en torno al cálculo desarrollado por G. W. Leibniz e Isaac Newton. Según algunos filósofos de la época, el éxito de esa disciplina era constatable en la filosofía natural de Newton. Gracias a ella, se pudo elaborar con mayor rigurosidad su teoría gravitacional. No obstante ello, el cálculo parecía una aberración. Con su noción de “límite”, el cálculo planteaba la convergencia gráfica a unos números específicos ad infinitum sin jamás llegar a él. Dependiendo de la ecuación, podríamos encontrar el caso de una razón con una variable en su denominador y cuyo límite implicaba un acercamiento infinito al número cero, pero sin llegar a él (una división por cero es imposible). Como si no fuera suficiente, el cálculo es la manera en que podía describir con ecuaciones el movimiento de una partícula en un plano cartesiano. Además, se hablaba del “fluido” de las líneas, entre otras extrañezas. El famoso filósofo empirista y obispo anglicano, George Berkeley (1685-1753), comparó este fenómeno matemático con las especulaciones teológicas y absurdas que eran remanentes o “fantasmas” de lo “infinitamente grande o pequeño”. Para él, estas nociones del cálculo son claras y distintas para la razón, pero no tienen base alguna en la experiencia.

Más adelante, vía la obra de Joseph-Louis Lagrange (1736-1813), específicamente su Teoría de las funciones matemáticas (1797), logró establecer una cierta unificación del cálculo matemático con el álgebra para que estas infinitudes se volvieran mejor inteligibles y aceptables desde el punto de vista matemático. Esto sacaría a la noción extraña de “límite” de la oscuridad “metafísica” que le caracterizaba. Como diría el erudito José Alberto Coffa, el acercamiento de Lagrange no remedió esta oscuridad y por tal razón, fue muy criticado, especialmente por haber utilizado un acercamiento analítico y no constructivista.

La resolución de Bolzano: El rigor analítico

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Bernard Bolzano

Sería Bernard Bolzano el que retomaría este problema y seguiría la ruta trazada por Lagrange, pero desde una perspectiva distinta. Como dijimos en nuestro artículo anterior de esta serie, él postulaba la existencia (una ontología) de los significados en sí o de las proposiciones en sí. Por ende, postulaba una suerte de realismo en la modalidad de platonismo. Sin embargo, esto no agotaba en lo absoluto los tipos de entidades existentes en un plano abstracto y atemporal. Bolzano pensaba que los objetos de las matemáticas (especialmente la aritmética y el cálculo) compartían este mismo estatus y que podían probarse analíticamente por la pura razón sin necesidad de recurrir a alguna doctrina construccionista de la “intuición pura” kantiana. Hay aserciones matemáticas verdaderas, pero no evidentes y cuya verdad necesitaba ser probada. Eran esencialmente conjeturas que podrían considerarse teoremas potenciales. Para probarlas, no hay que recurrir para nada a nociones geométricas espaciales en la intuición pura. Son verdades analíticas según fue definida por él (y que vimos en nuestro segundo artículo de la serie). Las gráficas del cálculo no representan en última instancia “flujos” o “dinámicas” espaciales (como alegaba Newton). Podríamos eliminar de nuestra consideración todo elemento espacial y tratar las ecuaciones del cálculo de manera puramente analítica.

Finalmente,en 1817, el genial matemático Bolzano, logró probar con todo rigor que:

… existe una función f(x) tal que si x es un valor, entonces la diferencia f(xw) – f(x) puede ser cada vez más pequeña que cualquier cantidad que le asignemos a w (Bernard Bolzano, “Rein analytischer Beweis des Lehrsatzes,” en Bernard Bolzano, Early Mathematical Works (1781-1848), editado por L. Novy (Praga: Institute of Czechoslovak and General History CSAS, 1981), 427-428.)

Hoy día, los matemáticos utilizan las definiciones delta (δ) y epsilón (ε) de continuidad (Coffa 1998, 28). También allí, probó por primera vez el Teorema del valor intermedio (para cortesía hacia los lectores, evitaré algunos tecnicismos matemáticos):

Teorema: Si f(x) es una función continua en un intervalo cerrado [a,b], con f(a) y f(b) con signos opuestos, entonces existe un punto c entre y b en el que f(c) = 0.

Prueba: Supongamos que f(a)<0<f(b). Supongamos también que hay una secuencia de números reales S en el que x es cualquier número entre b (incluyendo a ambos) y cuyo f(x)<0. Esta secuencia no está vacía y está acotada por b, así que tiene al menos una cota superior c. Hay tres posibilidades:

  1. f(c) < 0. Si este es el caso, entonces hay un intérvalo cercano a c en el que f(x)<0 para todo intérvalo incluyendo a aquellos que son mayores que c. Esto contradice el supuesto de que c es la cota superior.
  2. f(c) > 0. Si esto es verdad, entonces hay un intérvalo abierto cercano a c en que f(x)>0 para todo intérvalo, incluyendo a los menores de c. Sin embargo, esto es imposible porque ya definimos a c como la menor de todas las cotas superiores, por lo que f (x) < 0 para todo x menor que c.
  3. f(c) = 0. Las otras dos posibilidades quedan excluidas, por lo que nos resta esta opción. QED.

Varios años más adelante, también el matemático francés, Augustin Louis Cauchy también ofreció otra demostración del mismo teorema (1821).

Sin embargo, en realidad, el teorema anterior puede considerarse una instancia de otro teorema mucho más general:

Teorema: Si f(x) es una función continua en un intervalo cerrado [a,b], en el que f(a)<u<f(b), entonces existe un punto c entre y b en el que f(c) = u.

Las consecuencias filosóficas de las pruebas de Bolzano

Fuera de la fascinante historia matemática, todo esto apuntaba a un error fundamental de la filosofía kantiana. Su semántica estaba rotundamente equivocada cuando limitaba a la analiticidad de las proposiciones (incluyendo a las matemáticas) a la estructura de sujeto-predicado. Sin embargo, lo más fundamental es que no hace falta apelar de manera alguna a la famosa “intuición pura” de la mente humana ni sus construcciones para validar los teoremas matemáticos de una manera absolutamente certera.

Esto también tenía otras implicaciones filosóficas inesperadas para los seguidores cientificistass y naturalistas kantianos. Desde el punto de vista epistemológico, Bolzano pudo demostrar que nadie sabía si un teorema era verdadero hasta que finalmente se pudo probar. Es decir, las matemáticas constituyen verdadero conocimiento. Esto afirmaba la convicción platonista de Bolzano: existen verdades matemáticas en sí que nadie conoce hasta que se conciben en el entendimiento y, o son autoevidentes o se prueban matemáticamente. Es más, dichas verdades nos hablan de unas entidades matemáticas. Si estas proposiciones son verdaderas, es porque dichas entidades existen.

El psicologismo nunca estaría de acuerdo con esta posición. Sin embargo, vinieron otros filósofos y matemáticos que socavaron más los fundamentos kantianos y psicologistas del siglo XIX.

Bibliografía

Brown, James Robert. Philosophy of Mathematics: A Contemporary Introduction to the World of Proofs and Pictures. NY: Routledge, 2008.

Coffa, José Alberto. The Semantic Tradition from Kant to Carnap: To the Vienna Station. Cambridge: Cambridge University Press, 1998.

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