Presentación de libro: ¿Y por qué?

Presentación de libro: ¿Y por qué?

El domingo 16 de julio de 2017 a las 4:00pm, en el Museo Dr. Pío López Martínez, se presentará el libro/álbum de poesía ¿Y por qué?, escrito por Georgina Lázaro León e ilustrado por el gran artista Antonio Martorell.

Para más información puede llamar al 787 738 0650 o escribir a
gremariliz.ruiz1@upr.edu.

¿Y por qué?
Anuncio de la presentación del libro/álbum, ¿Y por qué?, de Georgina Lázaro. UPR Cayey.

Despedida a un gran académico

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El Departamento de Humanidades se siente dolida por la partida del profesor, historiador y sacerdote jesuita, Fernando Picó, S. J. (1941-2017).

Nacido en 1941, el doctor Picó ha sido un ávido investigador del cual se ha nutrido toda una generación de historiadores en Puerto Rico y ha sido inspiración para muchos de los que hemos disfrutado de su presencia. Su devoción a la academia era tal, que a pesar de sus males, hasta sus últimos momentos, no abandonaba para nada su tarea investigativa. Entre sus obras mejor conocidas se encuentran: Historia general de Puerto Rico1898: la guerra después de la guerraAmargo caféEl día menos pensadoLos gallos peleadosLos irrespetuososSanturce y las voces de su gente, Al filo del poder, entre otros. Hoy día se le contempla como uno de los mejores representantes de la Nueva Historia.  Que descanse en paz.

A continuación un vídeo de su magistral que diera en nuestro recinto, la Universidad de Puerto Rico en Cayey, en el año 2000.

La ética de la redistribución de riquezas – 1

Creative Commons LicenseEsta obra se publica bajo la Licencia de Creative Commons Atribución 4.0 Internacional.
©2016, Pedro M. Rosario Barbosa

Los valores éticos y la naturaleza humana

El ser humano es dos cosas, un animal moral y un animal ético. Muchos eticistas distinguen dos nociones a las que se les han asignado diversos términos, pero aquí adoptaremos las de “moral” y “ética“. Por la primera, entenderemos los usos y costumbres sociales, mientras que en el caso de la última entenderemos por el acto correcto o bueno. Pueden haber normativas morales que son antiéticas (e.g. la circuncisión femenina) o comportamientos éticos que cierta sociedad pueden considerar inmorales (e.g. el racismo como algo aceptable en ciertas sociedades).

Existen muchos animales no humanos que son morales y cuya herencia genética y su interacción social permiten que ellos actúen de acuerdo a ciertos valores morales primordiales, especialmente el de justicia.  El primatólogo y etólogo Frans de Waal, nos muestra con claridad el hecho de que a pesar de que nuestros primos genéticos como los chimpancés, los bónobos y otros más lejanos como los elefantes o ciertas especies de pájaros tienen comportamientos egoístas, a la misma vez gozan de un cierto sentido de justicia y, en algunos casos, de genuino altruismo.

Este es el mismo sentido innato de justicia que compartimos los seres humanos. Sin embargo, de entre los simios y de los animales a nivel mundial, los seres humanos somos seres éticos. Esto significa dos cosas:

  1. Que los seres humanos podemos prever las consecuencias de nuestras acciones a largo plazo y, con base en eso, podemos tomar decisiones racionales al respecto;
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  2. Significa también que podemos evaluar de manera crítica los valores morales individuales o sociales que consideramos fundamento de nuestras acciones.
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Disposiciones natas al egoísmo y a la justicia

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Una de las cosas que cierta gente suele afirmar sin reparos es el hecho de que los seres humanos en general somos egoístas. Hasta muchos están dispuestos a aceptar que es una característica innata. Sin embargo, no pensamos lo mismo del tema de la justicia. Hasta hay muchos economistas que trabajan con los llamados “modelos de selección racional” que suponen que todo ser humano actúa solo según consideraciones egoístas.

Esto se puede refutar muy fácilmente con teoría de juegos. Uno de los juegos mejor conocidos es el Juego del ultimátum. Digamos que tengo a dos estudiantes sentados ante mí y tengo cien billetes de $1.00 conmigo. Yo le doy los cien billetes al estudiante A y doy las siguientes instrucciones:

“Propón una división de los billetes de la manera que desees al estudiante B. Si ambos están satisfechos, se pueden quedar ambos con el dinero. Si el estudiante B no acepta, entonces el dinero me lo devuelven y ustedes se quedan sin nada.”

Los modelos de selección racional que utilizan varios economistas predicen que el estudiante A propondrá repartir el dinero de tal manera que él se quede con $99.00 y el estudiante B con $1.00; este último aceptará las condiciones porque tener $1.00 es mejor que no tener nada. Eso no es lo que vemos en la práctica. Usualmente se acepta que el dinero se reparta $50.00-$50.00, o algo así como $60.00-$40.00, pero si se sugiriera $90.00-$10.00, entonces la distiribución es rechazada y ambos se quedan sin dinero. El estudiante B preferiría no tener nada a aceptar un dinero que entiende que ha sido repartido  injustamente. Esto se parece a uno de los casos con los monos capuchinos que vemos en el vídeo de Frans de Waal.

El juego del ultimátum es particularmente útil para entender un fenómeno que se manifiesta en el mercado y que las ideologías del conservadurismo libertario o el de la izquierda política progresista parecen no entender muy bien: el fenómeno de la redistribución de riquezas.
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Ronald Coase y su crítica a la aproximación moral y ética de externalidades mutuas

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Ronald Coase. Foto cortesía del Coase-Sandor Institute for Law and Economics, de la Escuela de Derecho de la Universidad de Chicago

Uno de los grandes genios de la economía del siglo XX, Ronald Coase (1910-2013), con sus rechazos a ciertas políticas gubernamentales y su debate con otro gran economista, A. C. Pigou (1877-1959), trabajó el tema de lo que llamó “externalidades“. Por “externalidades” (negativas) entendemos el costo asumido por algún tercero como resultado de una transacción particular.

En el brillante, aunque marcadamente sesgado –y algo malinformado– documental The Corporation, se trata profundamente el tema de las externalidades corporativas.  A medida que las corporaciones “internalizan” las ganancias,  externalizan los costos por razones de competencia. Estos son asumidos por la sociedad produciendo enormes daños individuales y colectivos: contaminación del ambiente, emisiones de gases de efecto de invernadero, “sweatshops“, guerras internacionales por razón de materia prima y combustibles, privatización del agua, terminación de sindicatos, reducción exagerada del gobierno, la reducción del estado benefactor, entre otros.

Algunos en la derecha política y el conservadurismo libertario piensan que muchas veces ese costo social es necesario para el avance de la economía. En el caso de la izquierda política, algunos piensan que la redistribución de riquezas de las enormes ganancias corporativas y, en algunos casos, la terminación de los beneficios corporativos y del capitalismo son las mejores soluciones. En muchos casos, se quieren penalizar a las corporaciones como “victimarias” para compensar a las “víctimas”.

No cabe duda de que la mayoría de los casos las corporaciones tienen una responsabilidad ética de reparar los daños provocados. Sin embargo, cabe la pregunta de si el marco moral o ético de “víctima” vs. “victimario” es adecuado cuando tratamos el tema de las externalidades. También cabe preguntarse si las corporaciones serían disfuncionales bajo un esquema de redistribución de riquezas. Tal vez Coase nos ayude a entender el problema de fondo.

En 1959, publicó un artículo extenso (de cuarenta páginas) titulado “The Federal Communications Commission” en la revista The Journal of Law & Economics., donde argumentaba en contra de ciertas políticas de concesión o denegación de licencias a estaciones de comunicación. En ocasiones unas frecuencias radiales afectaban a las otras, lo que llevaba a toda serie de conflictos de índole económicos y políticos. En este último caso, se argumentaban violaciones a “la libertad de expresión”.  Los casos se tornaban en principio adversativos y se atendían de esa manera en los tribunales bajo el marco de “víctima” o “el victimario”.

Coase retó ese esquema legal porque esto no se trata de “víctimas” y “victimarios”, no es un problema ético sino fundamentalmente económico, un problema de externalidades recíprocas. La economía no es otra cosa sino el manejo inteligente y eficiente de recursos escasos. Las frecuencias de radio, el área que se transmiten, entre otros, son recursos escasos. Por ende, a medida que aumentaban las estaciones de radio por unidad de área, confligían las frecuencias de las estaciones entre sí. Ninguno es “víctima” o “victimario”, sino que todo es resultado de mala distribución de frecuencias y sus limitaciones. De acuerdo con Coase, estas regulaciones de la FCC estaban desenfocadas. Al contrario, el estado no debía regularlas de esa manera, sino más bien conceder negociaciones libres de las partes en conflicto para que hicieran análisis de costo y beneficio y adoptaran la solución más eficiente a dichos problemas. Tras esto, parecería que Coase está “dejándolo todo al sector privado” y que se dejara actuar a la famosa “mano invisible” de Adam Smith. No necesariamente.

Para ilustrar su propuesta, examinó un caso bien famoso entre un confitero y un médico (Sturges v Bridgman (1879) LR 11 Ch D 852 ) que se encontraban adyacentes. El ruido producido por la maquinaria del confitero no representaba ningún problema hasta que ocho años más tarde de haberse establecido el médico, este decididiera crear una oficina de consultoría en un lugar de su edificio más cercano a la confitería. El ruido interrumpía continuamente las labores del médico, por lo que decidió demandar al confitero. El tribunal decidió que el confitero debía pagarle el costo de  las pérdidas al médico.

Coase señala que el juez se equivocó con su decisión, porque utilizó el marco de “víctima y victimario”. Enfatiza el hecho de que determinar quién es la víctima y quién es el victimario no es del todo claro. Al contrario, no se ve claramente por qué el confitero debía pagar si el médico fue el que llevó a cabo los cambios que afectaron su negocio. El área de tolerancia de ruido es un recurso escaso. Sin querer, ambos acabaron externalizándose recíprocamente: uno mediante el ruido y el otro mediante una demanda. Para Coase, aun con todo y la demanda, hubiera sido mucho mejor que ambas partes hubieran negociado mutuamente la salida más eficiente a su situación.

Consideremos la siguiente situación una vez establecidos los derechos legales de las partes. A toda externalidad recíproca se le puede poner un costo (usando los precios de aquella época):

  • El médico podría rehusar mudarse a otro lugar a un costo de $200.
  • El confitero podría rehusar su derecho a hacer ruido con su maquinaria a un costo de $100.

No importa quién ganara el caso, todo dependía de la “voluntad de pago” de cada uno. Tal vez, el confitero mismo podría gastar $100 para reducir el nivel de ruido o el médico pagar más de $200 para mudarse de lugar. O el médico podría pagar $100 para que el confitero redujera el nivel de ruido o el confitero pagar $200 para que el médico se mudara. Parecería que la medida más razonable y eficiente entre ambas partes es la de una inversión de $100 (por parte de alguno de los dos o por ambos) para la reducción del ruido del confitero. Si alguna de las dos partes no llegaba al acuerdo, entonces la medida más eficiente sería la del pago por la mudanza del médico.

Coase no veía por qué el mismo razonamiento no se podía aplicar a los casos de externalidades recíprocas en el ámbito de las comunicaciones y sugirió un sistema de negociación de precios en el sector privado en vez de las regulaciones –en ocasiones arbitrarias– de la FCC.

Debido a ciertos debates que surgieron a raíz de este escrito, Coase escribió un año más tarde su famoso ensayo “The Problem of Social Cost” (1960), es decir, el problema de las externalidades. El texto también se publicó en Journal of Law and Economics. Allí elaboró con mucho mejor lujo de detalles este mismo punto. Este es el artículo más citado en la historia de la economía y por ese y otros escritos ganó el Premio Nóbel de Economía en 1991.

Los ideólogos de la derecha política y los conservadores libertarios admiran a Ronald Coase y piensan que ese escrito implica que hay que dejárselo todo al libre mercado y que el estado es realmente un estorbo a negociaciones libres. En otras palabras, hay que dejar que opere la famosa “mano invisible” del mercado, por el que Adam Smith tanto abogaba. Como señala el economista Robert H. Frank en su libro The Darwin Economy, nada más lejos de la verdad.
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La falacia del conservadurismo libertario

Frank argumenta que muchos economistas y políticos que sostienen que Coase es su héroe no han puesto sus ensayos en el contexto de la totalidad de su obra. Durante los años 30, Coase publicó un ensayo muy conocido titulado “The Nature of the Firm” y planteaba que en un muy buen número de casos, la negociación entre partes usualmente era disfuncional (planteaba este problema como explicación del fenómeno de las firmas corporativas, en la que hay un poder supervisor que determinara las reglas para la producción colectiva de mercancías). Lo mismo ocurre en el caso del estado.

El verdadero planteamiento de Coase es el siguiente:

El estado debería asignar a las partes en conflicto sus respectivos derechos para facilitar su negociación libre en el mercado. Sin embargo, cuando el sector privado falla en ello, entonces le corresponde al estado tomar decisiones cónsonas con la producción de un resultado particular de lo que hubiera ocurrido si las dos partes hubieran   negociado libre y racionalmente entre ellas.

La razón de por qué Coase estuvo de acuerdo con un esquema de precios –esencialmente un sistema de subastas–, es que reproduciría aproximadamente (con todas sus imperfecciones) lo que ocurriría si las estaciones radiales hubieran negociado racional y libremente entre ellas. La norma general es que los recursos escasos tienen un precio en el mercado, que a su vez dependen de la oferta y la demanda efectiva. Una vez más, esto es un problema económico. Aquellos que tienen más dinero usualmente tienen mayor capacidad y, por ende, voluntad de pago que aquellos que cuentan con menos dinero. Por tanto, el gobierno le cobraría a una estación de radio el uso de la frecuencia y los límites de espacio aéreo para su uso dependiendo de su voluntad de pago por ello mediante algún tipo de impuesto. Su cobro compensaría el costo social por el que incurrirían estaciones  o individuos con mucho menos dinero, pero que no pueden acceder al mercado como quisieran. Además, si se implementa un impuesto progresivo,  impuestos más altos a aquellas estaciones con más dinero y más bajos para aquellas con menos dinero brindarían mayores oportunidades y espacios para estas últimas. En efecto, sería, en cierto sentido, una política de redistribución de riquezas.

Desde un punto de vista ético, no es válido el planteamiento de que “todo el mundo tiene derecho a su riqueza” o que “todo impuesto es un robo”. Los que argumentan así se les olvida que no hay un derecho ético a la propiedad o la riqueza. Como bien argumentan Liam Murphy y Thomas Nagel en su libro The Myth of Ownership, solo con la existencia del estado puede asignarse lo que es “propiedad” de alguien, pero no de acuerdo con el objetivo de protegerla a toda costa como valor absoluto, sino como medio para el fin último: el bienestar social. Siguiendo el esquema de Coase, deberíamos formular leyes de propiedad de tal manera que reproduzcan lo que individuos racionales hubieran negociado libremente si hubieran tenido la oportunidad … esto incluye la redistribución de riqueza para resolver problemas externalizantes debido a la naturaleza imperfecta del mercado y sus estructuras.

Y aunque el sector privado, especialmente los conservadores fuertemente asociados a las  grandes corporaciones, juren que la redistribución de riquezas es una mala idea, el gran secreto es que ellas mismas la ponen en práctica y no lo saben.
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Redistribución de riquezas en el sector privado

Desde hace varias décadas, muchos economistas se han percatado que en la mayoría de los sectores económicos, sean públicos o privados, existe un fenómeno conocido como “compresión de salarios”.  La siguiente gráfica nos dará una idea de lo que se trata:

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De acuerdo con la economía clásica, se supone que a un obrero se le paga un salario proporcional a su nivel de producción. Mientras mayor sea la producción, mayor es el salario; menor producción, menor salario. Se ha podido percatar en todo el mercado que, en términos absolutos, aquellos que más producen reciben más que los que menos producen. Sin embargo, esto no ocurre en proporción 1:1 como se solía pensar.  Al contrario, aunque en términos absolutos aquellos que producen más reciban mayor salario, en términos relativos aquellos que producen menos reciben mayor salario en proporción a lo que producen, mientras que aquellos que producen más reciben menor salario en proporción a lo que producen. El resultado es que en cada grupo laboral (el A, B y C) encontramos una compresión salarial.

¿Por qué es esto así? La respuesta se halla en nuestro innato sentido de equidad y justicia ante un problema de externalidades recíprocas, tal como Coase lo había descrito en sus obras.  El ser humano es complejo y no necesariamente todos los individuos están movidos estrictamente por razón de maximizar sus ganancias o tener un alto puesto. Aquellos que les interesa un alto puesto, pero no ganar mucho dinero, usualmente gravitan a un grupo como el de A. Aquellos que les interesa el dinero, pero no el alto puesto, usualmente terminan en un grupo laboral como el de C. Finalmente, aquellas personas con intereses mixtos tienden a un grupo como el de B. Mejor que cualquier otro sistema, el capitalismo tiene la virtud de ser flexible ante estas consideraciones humanas, aunque la distribución de personas en estos grupos laborales no sea perfecta.

Frank ha resaltado la situación relacional entre cada grupo laboral considerada como sociedad local. En cada grupo podemos ver la compresión salarial a nivel local. Aquellos que están en un puesto mayor suelen ser un número de individuos mucho más pequeño que los que están en un puesto más bajo. El estar en una posición de mayor producción es un bien escaso al que solo unos pocos miembros del grupo laboral tendrán acceso. Por la naturaleza de los bienes escasos, combinada con el sentido de justicia y equidad de los individuos, se establece una situación de externalidades recíprocas. La estructura per se es la que lo permite: si existe un alto puesto, entonces necesariamente tiene que existir un bajo puesto; si el alto puesto solo lo pueden ocupar un pocas personas, eso significa necesariamente que la mayoría no la puede ocupar. El del alto puesto fuerza al de bajo puesto a estar en un bajo puesto (perdonando la redundancia). Eso es un costo, una externalidad.

Muchos podrían justificar la proporción 1:1 de producción y salario con base en que los trabajadores en un alto puesto “se lo merecen”, han trabajado bien duro para estar  en su lugar de trabajo. Sin embargo, como Frank ha señalado en su libro más reciente, Success and Luck (2016), esa manera de pensar pasa por alto el rol que tienen las situaciones accidentales y azarosas a la hora de llegar a una posición de éxito. Alguien puede llegar a una posición de éxito por:

  1. Porque se lo merece.
  2. Porque es amigo del jefe.
  3. Porque se lo merece, aunque muchos otros individuos en el grupo también se lo merezcan.
  4. Porque aparecieron unas circunstancias accidentales en los que X era más indicado, aunque antes de ese incidente hubiera sido Y.
  5. Porque el jefe quería que X tuviera el puesto, pero como tuvo un accidente, puso a Y.
  6. Porque X tuvo un problema emocional en su alto puesto, tuvieron que sustituirlo con Y.
  7. … etc.

Aquellos que producen menos pueden percibir una situación de un alto nivel de inequidad por lo que los predispone producir mucho menos. Esto lleva a que la totalidad del grupo produzca menos aun cuando aquellos en un alto puesto produzcan más. La falta de esta disposición a aceptar una posición de inequidad es otra forma del mismo problema que notamos cuando discutimos el juego del ultimátum. Esto a la larga le cuesta al grupo entero, incluyendo a los que están en alta posición. Esto sería también una externalidad.

Pues, el remedio económicamente más eficiente para tratar este problema de externalidad recíproca es la redistribución de riquezas. Mediante la compresión de salarios, las compañías en general crean exactamente el equivalente a una transferencia de ingresos de aquellos que producen más a aquellos que producen menos. En otras palabras, la misma industria sigue el consejo de Coase: producen una situación de lo que hubiera ocurrido si aquellos que producen más y aquellos que producen menos hubieran negociado libre y racionalmente en torno a su problema de externalización recíproca.

¿Funciona? Esta normativa adoptada por toda la industria nos deja ver que sí. Para todos los efectos, para maximizar sus ganancias, las compañías mismas se convierten algo equivalente a un miniestado benefactor.

Continuará ….
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Bibliografía

Aristóteles. Ética nicomáquea / Ética eudemia. Madrid: Editorial Gredos, 2001.

Coase, Ronald. “The Nature of the Firm.” Economica, 4, 16 (1937): 386-405. doi:10:1111/j.1468-03351937.tb00002.x.

—. “The Problem of Social Cost.” Journal of Law and Economics. 3 (octubre 1960):
1-44.

Frank, Robert H. The Darwin Economy: Liberty, Competition, and the Common Good. Princeton: Princeton University Press, 2011.

—. Success and Luck: Good Fortune and the Myth of Meritocracy. Princeton: Princeton University Press, 2016.

—. What Price the Moral High Ground?: How to Succeed without Selling Your Soul. Princeton: Princeton University Press, 2010.

Macedo, Stephen y Josiah Ober. Primates and Philosophers: How Morality Evolved. Princeton: Princeton University Press, 2006.

Murphy, Liam y Thomas Nagel. The Myth of Ownership: Taxes and Justice. Oxford: Oxford University Press, 2002.

de Waal, Frans. Chimpanzee Politics: Power and Sex among Apes. US: John Hopkins University Press, 2007.

—. Good Natured: The Origins of Right and Wrong in Humans and Other Animals. US: Harvard University Press, 1996.

Reconocimiento al Prof. Rafael Fuentes

El día jueves, 19 de mayo de 2016, la facultad del Departamento de Humanidades llevó a cabo una actividad de reconocimiento al profesor Rafael Fuentes por su labor por años en la Universidad de Puerto Rico en Cayey. La profesora Migdalia Barreto destacó su larga trayectoria y grandes logros en el ámbito académico dentro del recinto y a nivel internacional en el ámbito del drama y el teatro.

Más adelante, el Prof. Fuentes y el resto de la facultad presente en la actividad disfrutaron de un bizcocho de aceitunas y un delicioso flan, ambos preparados por la profesora Barreto. Después, el profesor y director del Departamento le regaló un cuadro, el cual fue bien recibido por el homenajeado.

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Los comienzos de la filosofía del siglo XX – 3

Publicaciones de la serie: 1, 2

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©2016, Pedro M. Rosario Barbosa

El cálculo como problema metafísico

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A la izquierda G. W. Leibniz y a la derecha Isaac Newton. Ambos desarrollaron el cálculo infinitesimal por separado, lo que llevó al segundo de acusar de plagio al primero. En el medio, una página de la obra de Leibniz, Nova methodus pro maximis et minimis, donde desarrolló su propuesta (1684), publicada antes de la obra de Newton, De analysi per aequationes numero terminorum infinitas (1711).

Uno de los más graves problemas del siglo XIX es la manera en que el desarrollo de ciertas áreas de las matemáticas parecían corroborar la tesis kantiana de que sus se fundaban todos en la intuición pura (tiempo y espacio puro de todo contenido empírico) y no exclusivamente en la razón deductiva no intuitiva (analítica a priori).

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El obispo George Berkeley, filósofo empirista

Aunque parezca increíble, lo mismo se planteaba en torno al cálculo desarrollado por G. W. Leibniz e Isaac Newton. Según algunos filósofos de la época, el éxito de esa disciplina era constatable en la filosofía natural de Newton. Gracias a ella, se pudo elaborar con mayor rigurosidad su teoría gravitacional. No obstante ello, el cálculo parecía una aberración. Con su noción de “límite”, el cálculo planteaba la convergencia gráfica a unos números específicos ad infinitum sin jamás llegar a él. Dependiendo de la ecuación, podríamos encontrar el caso de una razón con una variable en su denominador y cuyo límite implicaba un acercamiento infinito al número cero, pero sin llegar a él (una división por cero es imposible). Como si no fuera suficiente, el cálculo es la manera en que podía describir con ecuaciones el movimiento de una partícula en un plano cartesiano. Además, se hablaba del “fluido” de las líneas, entre otras extrañezas. El famoso filósofo empirista y obispo anglicano, George Berkeley (1685-1753), comparó este fenómeno matemático con las especulaciones teológicas y absurdas que eran remanentes o “fantasmas” de lo “infinitamente grande o pequeño”. Para él, estas nociones del cálculo son claras y distintas para la razón, pero no tienen base alguna en la experiencia.

Más adelante, vía la obra de Joseph-Louis Lagrange (1736-1813), específicamente su Teoría de las funciones matemáticas (1797), logró establecer una cierta unificación del cálculo matemático con el álgebra para que estas infinitudes se volvieran mejor inteligibles y aceptables desde el punto de vista matemático. Esto sacaría a la noción extraña de “límite” de la oscuridad “metafísica” que le caracterizaba. Como diría el erudito José Alberto Coffa, el acercamiento de Lagrange no remedió esta oscuridad y por tal razón, fue muy criticado, especialmente por haber utilizado un acercamiento analítico y no constructivista.

La resolución de Bolzano: El rigor analítico

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Bernard Bolzano

Sería Bernard Bolzano el que retomaría este problema y seguiría la ruta trazada por Lagrange, pero desde una perspectiva distinta. Como dijimos en nuestro artículo anterior de esta serie, él postulaba la existencia (una ontología) de los significados en sí o de las proposiciones en sí. Por ende, postulaba una suerte de realismo en la modalidad de platonismo. Sin embargo, esto no agotaba en lo absoluto los tipos de entidades existentes en un plano abstracto y atemporal. Bolzano pensaba que los objetos de las matemáticas (especialmente la aritmética y el cálculo) compartían este mismo estatus y que podían probarse analíticamente por la pura razón sin necesidad de recurrir a alguna doctrina construccionista de la “intuición pura” kantiana. Hay aserciones matemáticas verdaderas, pero no evidentes y cuya verdad necesitaba ser probada. Eran esencialmente conjeturas que podrían considerarse teoremas potenciales. Para probarlas, no hay que recurrir para nada a nociones geométricas espaciales en la intuición pura. Son verdades analíticas según fue definida por él (y que vimos en nuestro segundo artículo de la serie). Las gráficas del cálculo no representan en última instancia “flujos” o “dinámicas” espaciales (como alegaba Newton). Podríamos eliminar de nuestra consideración todo elemento espacial y tratar las ecuaciones del cálculo de manera puramente analítica.

Finalmente,en 1817, el genial matemático Bolzano, logró probar con todo rigor que:

… existe una función f(x) tal que si x es un valor, entonces la diferencia f(xw) – f(x) puede ser cada vez más pequeña que cualquier cantidad que le asignemos a w (Bernard Bolzano, “Rein analytischer Beweis des Lehrsatzes,” en Bernard Bolzano, Early Mathematical Works (1781-1848), editado por L. Novy (Praga: Institute of Czechoslovak and General History CSAS, 1981), 427-428.)

Hoy día, los matemáticos utilizan las definiciones delta (δ) y epsilón (ε) de continuidad (Coffa 1998, 28). También allí, probó por primera vez el Teorema del valor intermedio (como cortesía hacia los lectores, evitaré algunos tecnicismos matemáticos):

Teorema: Si f(x) es una función continua en un intervalo cerrado [a,b], con f(a) y f(b) con signos opuestos, entonces existe un punto c entre y b en el que f(c) = 0.

Prueba: Supongamos que f(a)<0<f(b). Supongamos también que hay una secuencia de números reales S en el que x es cualquier número entre b (incluyendo a ambos) y cuyo f(x)<0. Esta secuencia no está vacía y está acotada por b, así que tiene al menos una cota superior c. Hay tres posibilidades:

  1. f(c) < 0. Si este es el caso, entonces hay un intérvalo cercano a c en el que f(x)<0 para todo intérvalo incluyendo a aquellos que son mayores que c. Esto contradice el supuesto de que c es la cota superior.
  2. f(c) > 0. Si esto es verdad, entonces hay un intérvalo abierto cercano a c en que f(x)>0 para todo intérvalo, incluyendo a los menores de c. Sin embargo, esto es imposible porque ya definimos a c como la menor de todas las cotas superiores, por lo que f (x) < 0 para todo x menor que c.
  3. f(c) = 0. Las otras dos posibilidades quedan excluidas, por lo que nos resta esta opción. QED.

Varios años más adelante, el matemático francés, Augustin Louis Cauchy también ofreció otra demostración del mismo teorema (1821).

Sin embargo, en realidad, el teorema anterior puede considerarse una instancia de otro teorema mucho más general:

Teorema: Si f(x) es una función continua en un intervalo cerrado [a,b], en el que f(a)<u<f(b), entonces existe un punto c entre y b en el que f(c) = u.

Las consecuencias filosóficas de las pruebas de Bolzano

Fuera de la fascinante historia matemática, todo esto apuntaba a un error fundamental de la filosofía kantiana. Su semántica estaba rotundamente equivocada cuando limitaba a la analiticidad de las proposiciones (incluyendo a las matemáticas) a la estructura de sujeto-predicado. Sin embargo, lo más fundamental es que no hace falta apelar de manera alguna a la famosa “intuición pura” de la mente humana ni sus construcciones para validar los teoremas matemáticos de una manera absolutamente certera.

Esto también tenía otras implicaciones filosóficas inesperadas para los seguidores cientificistas y naturalistas kantianos. Desde el punto de vista epistemológico, Bolzano pudo demostrar que nadie sabía si un teorema era verdadero hasta que finalmente se pudiera probar. Es decir, las matemáticas constituyen verdadero conocimiento. Esto afirmaba la convicción platonista de Bolzano: existen verdades matemáticas en sí que nadie conoce hasta que se conciben en el entendimiento y se conocen por autoevidencia o por prueba matemática. Es más, dichas verdades nos hablan de unas entidades matemáticas. Si estas proposiciones son verdaderas, es porque dichas entidades existen.

El psicologismo nunca estaría de acuerdo con esta posición. Sin embargo, vinieron otros filósofos y matemáticos que socavaron más los fundamentos kantianos y psicologistas del siglo XIX.

Bibliografía

Brown, James Robert. Philosophy of Mathematics: A Contemporary Introduction to the World of Proofs and Pictures. NY: Routledge, 2008.

Coffa, José Alberto. The Semantic Tradition from Kant to Carnap: To the Vienna Station. Cambridge: Cambridge University Press, 1998.