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Siria: Cartografía de una crisis

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Siria: Cartografía de una crisis por Luis Alberto Lugo Amador

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Busca nuestras concentraciones menores en Teatro y Artes Visuales

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Concentración menor en Teatro
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Los comienzos de la filosofía del siglo XX – 5: El paraíso de Cantor

Los comienzos de la filosofía del siglo XX – 5: El paraíso de Cantor

Publicaciones de la serie: 123, 4

Creative Commons LicenseEsta obra se publica bajo la Licencia de Creative Commons Atribución 4.0 Internacional.
©2018, Pedro M. Rosario Barbosa

Georg Cantor

Georg Cantor
Georg Cantor (1845-1918)

De entre los matemáticos que han pasado por la Tierra, ninguno ha creado mayor impacto en la matemática y la filosofía de las matemáticas al mismo grado que lo hizo el genial Georg Cantor (1845-1918). El gran matemático contemporáneo David Hilbert, declaró en un momento dado un dictum que se ha cumplido verbatim: “Nada nos apartará del paraíso de Cantor”. A pesar de estas palabras y, no obstante, el rechazo virulento que en sus comienzos, hoy la teoría de conjuntos está presente en cualquier libro de texto de las matemáticas.

Si este es el hecho, ¿por qué se rechazaría con tal animosidad una rama de las matemáticas tan fundamental? Y, más importante, ¿cuáles elementos de esta teoría matemática impactó la filosofía dramáticamente?
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El fundamento de las matemáticas: los conjuntos

La propuesta de Cantor comienza con la noción de conjuntos.  Para él, los conjuntos son una totalidad compuesta de elementos. Cualquier combinación de elementos cualquiera puede considerarse un conjunto. Actualmente estas son las notaciones que se utilizan para la teoría de conjuntos y que utilizaremos para comprender a cabalidad algunos de los aspectos de la teoría de Cantor.

Notación de teoría de conjuntos

{…} = Conjunto.
{1, 2, 3, 4,} = Conjunto con los elementos 1, 2, 3 y 4.
x ∈ A  = Un elemento x pertenece a un conjunto A.
x ∉ A = Un elemento no pertenece a un conjunto A.
∅ = Conjunto vacío
ℕ (también ℕ⁰) = Conjunto de números naturales que incluye el cero = {0, 1, 2, 3, 4, …}
ℤ = Conjunto de números enteros= {…, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, …}
ℕ* = Conjunto de números naturales que excluye el cero = Números enteros positivos (ℤ⁺) = {1, 2, 3, 4, …}
ℚ = Conjunto de los números racionales = números que se pueden representar en fracciones, incluye a todos los íntegros.
ℝ = Conjunto de los números reales = números naturales, los racionales y los irracionales.

Además, los conjuntos también pueden tener como elementos a otros conjuntos. Tomemos por ejemplo este:  A = {1, {2, 3}, 4}. ¿Cuántos elementos hay en este conjunto? Tres, a saber: 1 (el primero), {2, 3} (el segundo) y 4 (el tercero). Si representáramos al conjunto {2, 3} con la letra B, podemos decir que B es un subconjunto de A, o, en notación,  B ⊆ A. 

Lo del contar elementos también vale en el caso del conjunto vacío. Es decir, ∅ es el conjunto vacío, pero {∅} contaría como un conjunto que contiene un elemento, el conjunto vacío.

También Cantor originó la noción de conjunto potencia (℘), que es un conjunto que tiene como elementos todas las combinaciones posibles de los subconjuntos de sus elementos. Supongamos que tenemos un conjunto A = {1, 2, 3}. El conjunto potencia sería el conjunto de todos los posibles subconjuntos del conjunto A. ¿Cuál sería el conjunto potencia de A, es decir, ℘ (A)?

℘(A) = {∅, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {2,3}, {1,3}, {1, 2, 3}}

En general, todo conjunto potencia de cualquier conjunto C tendrá la cantidad de 2n, en el que n es el número de elementos en dicho conjunto.  Es decir,

Para cualquier conjunto C con un número n de elementos, habrá un ℘ (C) cuyo número de elementos será 2n.

El problema de los números infinitos

El paraíso al que se refería David Hilbert era el de los transfinitos en la teoría de conjuntos, idea que no era muy afín a Hilbert ni a ningún otro formalista o constructivista de la época.

Desde la Antigüedad, los matemáticos y los filósofos han cuestionado la infinitud de los números. Sabemos que los números naturales son infinitos. Sin embargo, la secuencia de números primos (1, 2, 3, 5, 7, 11,…) es también infinita. La de números impares (1, 3, 5, 7, 9, 11 …), también lo es, así como el de los pares (2, 4, 6, 8, 10, 12 …). La pregunta sería, ¿existen unos infinitos “mayores” que otros?  La misma pregunta es contraintuitiva, porque se podría decir que infinito es infinito, no hay nada mayor que eso. ¡¿Qué diantres significa que un infinito sea mayor que otro?!

Sin embargo, la misma teoría de Cantor parecería implicar distintos “tamaños” infinitos. Cantor escribió una obra titulada Sobre las propiedades características de todos los números reales (1874) y, publicó en 1897, su obra Contribuciones a la fundamentación de la teoría de números transfinitos. Ambas fueron muy influyentes en discusiones y debates entre matemáticos y filósofos. Aquí, él abría las puertas a la “existencia” de conjuntos infinitos: el conjunto de números pares, el conjunto de números naturales, el conjunto de números primos, etc.

Su teoría de conjuntos le dio mayor agarre para discutir estos temas. Si hablamos de ciertos conjuntos finitos, podemos establecer una correlación de uno-a-uno entre ellos. Si tenemos un conjunto X = {1, 2, 3, 4}  y un conjunto Y = {C, DEF}, se puede establecer una correlación uno-a-uno, ya que cada elemento de X tiene su correlato de elementos en el conjunto Y.

Biyección entre conjuntos
Correlación uno-a-uno entre conjuntos X y Y.

A este tipo de correlación se le conoce como biyección. En el caso de los conjuntos XY, se puede establecer una biyección. Cuando dos conjuntos tienen el mismo número de elementos se dice que es equinumérico. Una biyección entre conjuntos equinuméricos conservan su cardinalidad. La cardinalidad de un conjunto (simbólicamente |A| = la cardinalidad del conjunto A) es el tamaño de un conjunto en virtud de la cantidad de sus elementos. En el ejemplo que acabamos de ver, podemos decir que la cardinalidad del conjunto X es la misma que la de Y, o |X|=|Y|.

Como podemos ver, no hay problema alguno con establecer biyecciones entre conjuntos finitos, ¿pero qué hay de los infinitos? Los números naturales son infinitos. Desde la perspectiva de teoría de conjuntos, se dice que son conjuntos denumerablemente infinitos. Se puede decir con toda exactitud que el conjunto de números naturales tiene la misma cardinalidad de los números pares. Por ende, los números pares son denumerablemente infinitos.

Cardinalidad de los números pares
Cardinalidad de los números pares. (Imagen creada por Pedro M. Rosario Barbosa / Disponible bajo el dominio público / CC0).

Lo mismo se puede decir de la cardinalidad de los números primos y los de los números impares, de los cuadrados de los números, etc. Para todos los efectos, todos estos infinitos tienen el mismo tamaño.

Alef Cero
Alef Cero

Cantor le asignó un valor a esta cardinalidad y escogió la primera letra del alefato hebreo, ℵ (alef), para eso. El 0 (alef-cero) designa la cardinalidad de aquellos conjuntos equinuméricos a los números naturales. Esta noción de conjuntos ya es contraintiutiva en muchos sentidos. Por ejemplo, si |ℕ| es la misma que la de los números pares, eso quiere decir que el tamaño de infinitud de los números naturales (la totalidad) es la misma que la de una parte de ella. Esto no ocurre en el caso de los conjuntos finitos. Así que podríamos definir a los números infinitos como aquellos en los que podemos establecer una biyección con un subconjunto de ellos mismos.

Debido a esto, no debería ser sorpresa que la suma o multiplicación de infinitos de cardinalidad ℵ0 sean  también de cardinalidad ℵ0:

0    +    ℵ0   =    ℵ0

0     +    ℵ0    +    …    +    ℵ0    +   ℵ0    =    ℵ0

0     ×     ℵ0    =    ℵ0

0     ×    ℵ0    ×    …    ×    ℵ0   ×    ℵ0    =    ℵ0

Cantor probó que todos los números racionales (números expresables en fracciones) son denumerablemente infinitos. Se pueden arreglar los números racionales de la siguiente manera:

Organización de números racionales
Organización de números racionales

Una vez tenemos este esquema, podemos eliminar aquellas fracciones que significan otras que aparecen en la lista. De esta manera, podemos lanzar una flecha que de forma diagonal organice la numeración de los números racionales para establecer una biyección con los números naturales comenzando desde el cero.

Cardinalidad de los números racionales
Cardinalidad de los números racionales

Así, pues, Cantor pudo probar que el conjunto de números racionales es denumerablemente infinito.

Sin embargo, todavía no hemos tocado el tema más controversial. ¿Pueden haber unos infinitos mayores que otros?
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Tamaños de conjuntos infinitos

¿Que hay de los números reales (ℝ)? Los números reales incluyen todos los números naturales, los irracionales … y, mucho más, los irracionales (los números no expresables en términos de fracciones). Uno podría decir que la serie de números racionales es infinito. Sin embargo, intuitivamente sabemos que entre el cero y el uno también parece haber una infinidad de números racionales e irracionales.

Habría que preguntarse si |ℝ| es mayor o igual que ℵ0. Cuando se considera que los números irracionales decimalmente se extienden al infinito, debemos reorganizar estos números. Como en el caso de los números racionales, ¿podría establecerse una biyección con los números naturales?

Supongamos, para efectos del argumento, que es posible que establecer una biyección entre números reales entre 0 y 1 y los números naturales. Veamos esta representación de estos números reales que se expanden decimalmente entre 0 y 1, me basaré en la sencilla explicación que aparece en el libro de Jan Gullberg (260-261).

Expasión de espacios decimales entre los números 0 y 1
Expasión de espacios decimales entre los números 0 y 1

Ahora bien, consideren el siguiente número: 0. zI zII zIII zIV… de tal manera que:

  • zI = 8 si a1 = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, o 7; zI = 1 si a1 es 8 o 9
  • zII = 8 si b2 = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, o 7; zII = 1 si b2 es 8 o 9
  • zIII = 8 si c3= 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, o 7; zIII = 1 si c3 es 8 o 9

En tal caso es imposible que el número 0.zI zII zIII zIV… sea igual a ninguna expansión decimal de ninguna de las filas del diagrama, ya que el número zI difiere de la primera fila exactamente en a1, en la segunda fila el zII en b2, y así sucesivamente. De esta manera es falsa la premisa de que puede establecerse una biyección entre los números reales entre 0 y 1 con el conjunto de números naturales, porque siempre va a haber un número 0.zI zII zIII zIV… con el que no puede establece biyección con algún número natural.

En otras palabras, es posible de hablar de al menos un conjunto de números infinitos que es mayor que ℵ0, algo que es a todas luces contraintuitivo … pero la prueba es clara. Sencillamente el conjunto de números reales no es denumerablemente infinito.

De ahí, puede hablarse de números transfinitos, ya que Cantor pudo probar que hay una cantidad infinita de conjuntos infinitos de distintos tamaños: ℵ1, ℵ2, ℵ3, etc.
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La hipótesis del continuo

Si todo conjunto infinito puede tener un conjunto infinito como parte, entonces puede hablarse de casos en los que se puede establecer una biyección entre un subconjunto entre los números naturales, o se puede establecer una biyección con otro conjunto de mayor tamaño, como el de los números reales.

Cantor conjeturó que podría existir un número transfinito 𝔠, cuya cardinalidad sería la de los números reales entre el 0 y el 1. En un momento dado, Cantor pudo probar que la cardinalidad de los números reales es el conjunto potencia del conjunto de números naturales.

𝔠 = |ℝ| = |℘ (ℕ)| = 2ℵ0 > ℵ0

Según Cantor, podrían haber subconjuntos de los números reales que podrían tener una cardinalidad ℵ0 o de una cardinalidad 𝔠.  A esto se le conoce como la hipótesis del continuo. Esta fue una hipótesis que nunca logró probar.
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La filosofía de Cantor

Después de una brillante y, admitidamente, controvertida contribución a las matemáticas, Cantor se dejó inspirar por la filosofía. Él era exalumno del gran matemático Karl Weierstrass, quien buscaba fundar la noción de número en la secuencia de números cardinales, es decir, el orden de números que miden la cardinalidad de conjuntos (Hill y da Silva 3).

0, 1, 2, 3, … , n, …; ℵ1, ℵ2, ℵ3, … , ℵα, …

Ahora bien, como dijimos en artículos anteriores, hubo distintas vertientes filosóficas en torno a naturaleza de los números y de las verdades matemáticas. Sin embargo, fue Cantor el primer matemático revolucionario que intentó buscar una justificación filosófica de su nueva teoría. Para 1894, había dado el giro hacia la filosofía y, muy particularmente, a la teología. Filosóficamente estuvo inclinado hacia el platonismo, contemplando sus conjuntos como formas ideales a las que se adaptan los objetos del mundo. Inspirándose en la noción neoplatónica del Intelecto Divino, Cantor afirmaba que estas esencias o ideas estaban contenidas en la Mente de Dios. Su indagación en cuanto a los conjuntos era un continuo descubrimiento de nuevas verdades, no de construcciones mentales a la Kant. Debía haber alguna manera de abstraerlos de la realidad. (Hill 5-6)

Las ideas de Cantor se sumaron a las de varios matemáticos como Bernard Bolzano de que podía establecerse la aritmética (junto a las teorías de conjuntos) como una disciplina analítica que no necesariamente debía apelar a las intuición pura, como lo pensaba Kant. En ese sentido, la geometría podía fundarse en las intuiciones de tiempo y espacio, no así el resto de las matemáticas. Los números definidos de alguna manera como conjuntos podían ser la base del resto de las matemáticas.

De hecho, en 1888, le tocó formar parte de un panel de defensa de una tesis de habilitación (Habilitationsschrift) para integrar a la facultad de la Universidad de Halle a otro brillante matemático que recientemente se había interesado por fundar los números en la noción de números cardinales desde un punto de vista sicológico y no desde el platonismo. El título de la tesis era Sobre el concepto de número y su autor, Edmund Husserl. Con el tiempo, Cantor llegó a ser mentor de Husserl y, a su vez, su íntimo amigo.
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Aparecen problemas

Aun con todo y su filosofía mística, el paraíso de Cantor no estaba exento de problemas. Como veremos en nuestra próxima entrada, hubo reacciones de filósofos y matemáticos por doquier ante la propuesta de la existencia de números transfinitos. Sin embargo, Cantor estaba consciente de que sin unas limitaciones, era posible que su hermosa contemplación mal axiomatizada pudiera caer en contradicciones.

Los problemas comenzaron a surgir cuando empezaron a fijarse en un teorema derivado de los axiomas de la teoría de conjuntos, que no hay un tope de números cardinales, ya que es infinito (hay un infinito número de tamaños de infinitos). En 1899, Cantor identificó una paradoja.

Paradoja de Cantor: Como hemos indicado, un conjunto potencia del conjunto A siempre tendrá una cardinalidad mayor que A o |℘ (A)|> |A|. Ahora, la teoría de conjuntos formulada nos dice que hay distintos números transfinitos, por lo tanto, hay una infinitud de números infinitos de distintos tamaños. Es más, es posible la creación de un conjunto B infinito que contenga todos los conjuntos infinitos. Eso significa que B tiene una cardinalidad mayor que la de cualquiera que sus subconjuntos. Eso significa que ℘ (B) también es un conjunto, por lo que sería un subconjunto de B y, por ende, |B| > |℘ (B)|. Sin embargo, de acuerdo con lo que establece el teorema de los conjunto potencia, |℘ (B)| > |B|. Esto es una contradicción.

Esta no era la única paradoja descubierta en esa época.

A partir del siglo XX, dos matemáticos, Ernst Zermelo y Abraham Fraenkel, desarrollaron un sistema axiomático de conjuntos. A esto se le conoce como el sistema de conjuntos Zermelo-Fraenkel. En 1899, Zermelo descubrió que este sistema axiomático caía en una nueva paradoja. Una vez descubierta, se la dejó saber a Edmund Husserl y a David Hilbert.

La Paradoja Zermelo-Russell
La Paradoja Zermelo-Russell escrita por Edmund Husserl. (Rang y Thomas 16) Presione la imagen para versión agrandada.

Ya para entonces, Husserl había abandonado su proyecto sicologista y se adentró en las matemáticas desde una perspectiva platonista-estructural. En 1891, escribió una reseña sobre una obra de Ernst Schröder sobre el álgebra de la lógica y que fue leída por Zermelo. En esta reseña, Husserl le criticaba el descuido de la jerarquía de conjuntos que tienen otros conjuntos como elementos. Estos subconjuntos pueden tener elementos simples. Si no se distinguen bien entre un conjunto que es elemento de uno más alto y los elementos del subconjunto, se podría entrar en potenciales contradicciones.

Zermelo quería advertirle a Husserl que el problema era mucho más serio, al menos de acuerdo a la paradoja que él había descubierto en 1899. Así que en 1902 le envió una carta al respecto. La evidencia física de ello es una página en la que se halla escrita con el puño y letra de Husserl. Dice lo siguiente:

Zermelo informa (16 de abril de 1902) concerniente a la p. 272 de mi reseña de Schröder

En cuanto al problema, no en el método de prueba, Schröder está en lo correcto, de que:

Un conjunto M, que contiene cada uno de sus subconjuntos m, m’, … como elementos, es un conjunto inconsistente, i.e., dicho conjunto, si se trata como un conjunto, lleva a contradicciones.

PRUEBA. Consideremos a estos subconjuntos m que no se contienen a ellos mismos como elementos. (M contiene como elementos cada uno de sus subconjuntos; por ende, los subconjuntos de M también contendrán ciertos subconjuntos como elementos, ellos no siendo sus [propios] elementos, y ahora consideremos estos subconjuntos m, que puedan tal vez contener otros subconjuntos, pero no como elementos de sí mismos.)

Estos constituyen la totalidad de un conjunto M0 (i.e., el conjunto de todos los conjuntos de M que no se contienen a sí mismos como elementos), y ahora yo pruebo de M0,

  1. que no se contiene a sí mismo como un elemento,
  2. que se contiene a sí mismo como elemento.

Concerniente a (1): M0, siendo un subconjunto de M, es un elemento de M, pero no un elemento de M0. De otra manera, M0 contendría como elemento al subconjunto de M (es decir, M0 mismo), que se contiene a sí mismo como elemento, y eso sería una contradicción con la noción de M0.

Concerniente a (2): Por tanto M0 en sí mismo es un subconjunto de M que no se contiene a sí mismo como elemento. Por tanto, debe ser elemento de M0.

Por supuesto, un conjunto con una definición como la de M es el conjunto de todos los conjuntos. Este es también un ejemplo de que el conjunto podría contenerse a sí mismo como elemento: El conjunto de todos los conjuntos es un conjunto. (Rang y Thomas 16-17)

Si esto les suena familiar, tal vez no sea Zermelo el que venga a su mente, sino Bertrand Russell, quien descubrió posteriormente (1901)  esta misma paradoja, que hoy lleva su nombre. Hay filósofos que han argumentado que con toda justicia debería conocerse como la Paradoja Zermelo-Russell.

Esto se debe a que justo cuando el filósofo Gottlob Frege iba a publicar el segundo volumen de su obra Leyes fundamentales de la aritmética, recibió una carta del filósofo británico (1902) para señalarle que en el primer volumen, sus axiomas permitían dicha paradoja.

Esto fue muy malas noticias para Frege, cuyo proyecto logicista definió la filosofía del siglo XX, especialmente en su vertiente analítica. Sin embargo, la paradoja fue un punto de aclaración en torno a la constitución de conjuntos desarrollada por la fenomenología de Husserl. Este se convirtió a su vez en el padre de la filosofía continental contemporánea. Es irónico que hoy se consideren divididas dos vertientes filosóficas que comenzaron con dos grandes matemáticos, ambos platonistas, ambos realistas semánticos y ambos en una u otra medida grandes pensadores.

Su historia está por contarse, continuaremos…

Nota al calce: Le agradezco al amigo Richard Santiago por sus observaciones que han sido debidamente integradas al texto, específicamente sobre la distinción entre números naturales que incluyen al cero y el conjunto de números íntegros positivos. También aconsejó incluir una definición del conjunto potencia.

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Referencias

Brown, James Robert. Philosophy of Mathematics: A Contemporary Introduction to the World of Proofs and Pictures. 2da. ed. Routledge, 2008.

Cantor, Georg. Contributions to the Founding of the Theory of Transfinite Numbers. Dover, 1915.

Gullberg, Jan. Mathematics: From the Birth of Numbers. W. W. Norton & Co., 1998.

Hill, Claire Ortiz y Jairo José da Silva. The Road Not Taken. On Husserl’s Philosophy of Logic and Mathematics. College, 2013.

Maddy, Penelope. Naturalism in Mathematics. Clarendon, 1997.

Rang, B. y W. Thomas. “Zermelo’s Discovery of the ‘Russell Paradox'”. Historia Mathematica, vol. 8, núm. 1, febrero de 1981, pp. 15-22.

Tile, Mary. The Philosophy of Set Theory: An Historical Introduction in Cantor’s Paradise. Dover, 1989.

Conferencia: 1968 – Medio siglo después del año que cambió la historia

Conferencia: 1968
Afiche: 1968 – Medio siglo después del año que cambió la historia

El Departamento de Humanidades y el Círculo de Historia se complacen en invitarle a la conferencia del Dr. Luis Alberto Lugo Amador titulada: 1968 – Medio siglo después del año que cambió la historia. Esta se dará a las 10:30am el 3 de mayo de 2018 en la Sala 116 del Edificio Morales Carrión.

Sean todos bienvenidos.