Siria: Cartografía de una crisis

Siria: Cartografía de una crisis
Siria: Cartografía de una crisis por Luis Alberto Lugo Amador

Mañana martes, 5 de junio, el Dr. Luis Alberto Lugo Amador estará dando una conferencia sobre la situación actual de Siria con el título, “Siria: Cartografía de una Crisis”. Se dará en el salón 116 del Edificio Morales Carrión, a las 10:30 am de la mañana. No se la pierdan. Invitan el Círculo de Historia y la Asociación del Programa de Estudios de Honor.

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Conferencia: 1968 – Medio siglo después del año que cambió la historia

Conferencia: 1968
Afiche: 1968 – Medio siglo después del año que cambió la historia

El Departamento de Humanidades y el Círculo de Historia se complacen en invitarle a la conferencia del Dr. Luis Alberto Lugo Amador titulada: 1968 – Medio siglo después del año que cambió la historia. Esta se dará a las 10:30am el 3 de mayo de 2018 en la Sala 116 del Edificio Morales Carrión.

Sean todos bienvenidos.

Dos artículos publicados de nuestra facultad

Dos artículos publicados de nuestra facultad
Portada de Revista Cayey #98
Portada de Revista Cayey #98

En el volumen 98 de la revista académica Revista Cayey, sa publicaron dos artículos escritos respectivamente por dos miembros de nuestra facultad, el historiador, Alexis O. Tirado Rivera, y el filósofo, Pedro M. Rosario Barbosa.

Presentamos aquí las fichas, los resúmenes y los enlaces para descarga de ambos artículos:

Alexis O. Tirado Rivera. “El Guayama de Luis Palés Matos y Luis Muñoz Marín: un encuentro en el año 1917”. Revista Cayey, vol. 98, mayo 2017, pp. 77-89.

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Pedro M. Rosario Barbosa. “La búsqueda de un criterio de demarcación adicional: entre la pura especulación y la semiciencia”. Revista Cayey, vol. 98, mayo 2017, pp. 39-51.

Descargar el documento (PDF) 

Esperamos que disfruten su lectura de los artículos.

Los comienzos de la filosofía del siglo XX – 4

Publicaciones de la serie: 1, 2, 3

Creative Commons LicenseEsta obra se publica bajo la Licencia de Creative Commons Atribución 4.0 Internacional.
©2018, Pedro M. Rosario Barbosa

La revolución analítica de Bolzano en la geometría no fue la única ocurrida en esos tiempos ni fue una solitaria refutación de la filosofía kantiana. Al contrario, formaba parte de unos enormes cambios en el ámbito de las matemáticas que fueron acelerando en el siglo XIX y que representaron unos enormes retos para el siglo XX.

La geometría ya estaba experimentando unos enormes cambios desde el siglo XVI y que ni tan siquiera los geómetras y filósofos de la época pudieron entender por completo sus implicaciones. El psicologismo y el kantianismo privilegiaban el espacio euclideano con tres dimensiones como un sine qua non de todo conocimiento. En algunos casos, pensaban que solamente ese tipo de geometría podía ser la única legítima. Sin embargo, sigilosamente, varios matemáticos de los siglos XVIII y XIX les serruchaban esos soportes filosóficos.
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Un jesuita asombrado

Saccheri_1733_-_Euclide_Ab_Omni_Naevo_VindicatusDurante el siglo XVIII, este libro apareció para despertar la curiosidad de varios matemáticos de ese siglo y el posterior. Su autor, Giovanni Girolamo Saccheri (1667-1733), dedicó gran parte de su vida académica a explorar la posibilidad de probar la verdad absoluta de la geometría euclideana. Este intelectual fue ordenado jesuita en 1685 y se dedicó a la erudición escolástica y matemática. Su propósito era el de establecer la unicidad de la geometría euclideana.

Como tal, la geometría euclideana (al menos antes de Bolzano) no adoptaba la forma lógica o analítica que conocemos hoy día. Sin embargo, sí podía presentarse en forma deductiva y podía probarse vía Reductio ad Absurdum. Este campo descansa en gran parte en lo que se conoce como el “axioma de las [líneas] paralelas”, formulada por Euclides como un quinto postulado de su sistema tal como lu publicó en su obra titulada: Los elementos. El llamado “axioma” dice lo siguiente:

Dadas dos líneas a y b que son intersecadas por una línea c, si a b no forman un ángulo recto en relación con c, a y b se intersecarán en un momento dado al extenderse indefinidamente.

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El archivo original de esta imagen se encuentra aquí.

La pregunta de Saccheri era la siguiente: ¿es lógicamente posible algún tipo de geometría en el que no valga el “axioma de las paralelas”? Tenía una fuerte convicción de que ese no era el caso; que un espacio no euclideano era simplemente imposible. Para su sorpresa, cuando llevó a cabo su procedimiento mediante Reductio ad absurdum descubrió accidentalmente de que  era lógicamente posible una geometría donde no valiera dicho axioma.

Aun así, a pesar de esta prueba, Saccheri afirmaba con seguridad de que un espacio no euclideano no corresponde al mundo actual, por lo  que elaborar una geometría basada en ello sería una actividad fútil. Su obra sobre su famosa demostración se publicó en 1733, unos meses antes de su muerte.
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Los genios de la geometría no euclideana

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A la izquierda, Carl Friedrich Gauß y a la derecha Ferdinand Karl Schweikart.

Los matemáticos alemanes Carl Friedrich Gauß (1777-1855) y  Ferdinand Karl Schweikart (1780-1857) elaboraron más en torno a la geometría no euclideana y llegaron a conclusiones similares, aunque sin publicar sus respectivas obras y sin que uno supiera lo que hacía el otro.

No solamente los dos levantaron serias dudas en torno al llamado “axioma” de las paralelas (que después de Saccheri no se consideraba tan “axioma” como antes), sino que mostraron que se podía desarrollar una geometría distinta.

Un equivalente al axioma de las paralelas, el axioma de Playfair, que nos dice lo siguiente:

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Dada una línea a y un punto P no colineal, solamente puede pasar una línea b paralela a ella.

Teniendo en consideración algunas observaciones de Schweikart de la posibilidad de espacios en los que la suma de los ángulos de un triángulo eran menores de 180⁰, Gauß pudo demostrar matemáticamente que, dado el hecho de que el “axioma” de las paralelas no era lógicamente necesario, pueden existir espacios en los que pasan más de una línea paralela a la línea por un punto P.

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Ambos genios matemáticos sembraron la semilla para el desarrollo ulterior de la geometría hiperbólica. Esta fue elaborada por dos matemáticos por separado: el matemático húngaro, János Bolyai (1802-1860), cuyo padre conoció bien a Gauß y a un matemático ruso, Nikolai Lobachevsky (1792-1856), quien fue influenciado por un maestro amigo de Gauß.

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A la izquierda János Boyai, a la derecha Nikolai Lobachevsky.

La geometría hiperbólica describe lo que Gauß denominaba “de curvatura negativa”. En este tipo de curvatura, a diferencia del espacio euclidiano, la suma de los ángulos de un triángulo es siempre menor de 180⁰.

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Representación de un espacio hiperbólico

 

No fue hasta Eugenio Beltrami (1835-1900) que se pudo mostrar que el la geometría hiperbólica era consistente.

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Bernhard Riemann

Sin embargo, la geometría hiperbólica y la exploración de espacios hiperbólicos en general no agotó la totalidad de espacios no euclidianos. Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866), un matemático alemán que enseñaba matemáticas en la Universidad de Göttingen, estuvo explorando los espacios elípticos, es decir, aquellos “de curvatura positiva”. En dichos espacios, la suma de los ángulos de un triángulo es siempre mayor a 180⁰.

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Representación de un espacio esférico

Sin embargo, la aportación de Riemann fue mucho más que la de explorar un tipo de espacio. Tal vez, una de las más importantes fue su noción de multiplicidad, concepto que llegaría ser fundamental para formular la teoría general de la relatividad décadas después. Riemann utilizó el cálculo diferencial para la exploración de “multiplicidades” espaciales, es decir, diferentes superficies espaciales en todo tipo de espacio posible. Para todos los efectos, desarrolló la topología espacial, no solo de espacios euclideanos y no euclideanos, sino también aquellos de múltiples dimensiones (lo que llegó a denominarse n-dimensiones). Esta teoría de las multiplicidades es el corazón de la geometría riemanniana.
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La relación entre la geometría no euclideana y las ciencias naturales

Las reacciones de otros filósofos, matemáticos y filósofos no se hicieron esperar. Hubo toda una variedad de reacciones ante este y otros desarrollos de la geometría analítica y la geometría no euclidiana. Una muy buena parte de los mejores filósofos no matemáticos descartaban la importancia de estos desarrollos. El científico y brillante filósofo de las ciencias Pièrre Duhem (1861-1916) se expresaba totalmente en contra ellos, lo que no es sorpresa dado que se opuso a la teoría general de la relatividad en años cercanos a su muerte en 1916.

El neokantismo también rechazaba esta posición. Aunque Kant sí estaba abierto a una “geometría suprema” –a la que distinguía de la geometría euclidiana– algunos de sus representantes tales como Paul Nartorp utilizaba el argumento kantiano de las contrapartidas incongruentes como fundamento intuitivo de la geometría. Para Kant, el espacio, como forma de la intuición, debía concebirse newtonianamente, es decir, como un absoluto en el que se encuentran los objetos. Esta es una condición de posibilidad (a priori) de las contrapartidas incongruentes, es decir, la posibilidad de que constituyan objetos semejantes en todo aspecto, excepto en su orientación espacial opuesta. Por ejemplo, imagínese estar frente a frente con otra persona idéntica a usted en todos los aspectos. Alguien que hiciera una aproximación leibniciana, es decir, puramente relacional, diría que los dos son puramente idénticos en todos los aspectos. Sin embargo, en un espacio como marco de referencia absoluto no son totalmente idénticos, ya que la orientación de ambas es distinta. Por tanto, un espacio de tres dimensiones euclidiano es una condición de posibilidad de toda intuición sensible.

En otros casos, como el del matemático y físico Henri Poincaré (1854-1912), se podría percibir un tipo de tensión con este tipo de geometría en su relación con las ciencias empíricas. A pesar de los avances analíticos de este campo, es notoria su perspectiva de las matemáticas en general como ciencias sintéticas, cuyas definiciones y nociones son adoptadas por convención. Desde su perspectiva, él atacaba varias de las ramas de las matemáticas adoptadas en su tiempo, tales como la teoría de conjuntos desarrollada por Georg Cantor (1845-1918). El sentimiento general de los pensadores de la época era que la geometría no euclideana no tenía valor científico en lo absoluto. Aunque Poincaré era afín a este punto de vista, en su obra, Ciencia e hipótesis (1904), pudo distinguir entre las dimensiones lógicas y epistemológicas de la geometría no euclidiana.

Para cuando escribió su obra, los matemáticos en general contemplaban el espacio euclideano como uno de uno de infinitos espacios lógicamente posibles. Estas posibilidades debían distinguirse del espacio físico actual, cuya figura se determinaba empíricamente. Decía Poincaré, que era perfectamente posible suponer un espacio no euclideano –un espacio más complicado que el euclideano– para la adopción de alguna teoría más simple que la que se asumiría si se supusiera un espacio euclideano. A pesar de esta observación, choca que él mismo afirmaba que era altamente improbable que estas posibilidares se tornasen en una realidad.

Albert Einstein mostraría eventualmente que, en este último punto, Poincaré estaba rotundamente equivocado.
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Bibliografía

Gillies, Donald. Philosophy of Science in the Twentieth Century: Four Central Themes.  Blackwell, 1993.

Harrison, Edward. Cosmology: The Science of the Universe. Cambridge UP, 2000.

Kant, Immanuel. Principios metafísicos de la ciencia de la naturaleza. Alianza, 1989.

—. Prolegómenos a toda metafísica del futuro. Traducido por Julián Besteiro y A. Sánchez Rivero, Losada, 2005.

Poincaré, Henri. Science and Hypothesis. Walter Scott, 1905.

Torretti, Roberto. Manuel Kant. E de la U de Chile, 1967. 

—. Philosophy of Geometry from Riemann to Poincaré. Kluwer, 1984.

—. The Philosophy of Physics. Cambridge UP, 1999.

Van Fraasen, Bas. An Introduction to the Philosophy of Space and Time. Columbia UP, 1985.

Wilson, Catherine. “Leibniz’s Influence on Kant”. The Stanford Encyclopedia of Philosophy , 2018. https://plato.stanford.edu/archives/spr2018/entries/kant-leibniz/.

Wolfe, Harold E. Introduction to Non-Euclidean Geometry. Dover, 2012.

 

Despedida a un gran académico

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El Departamento de Humanidades se siente dolida por la partida del profesor, historiador y sacerdote jesuita, Fernando Picó, S. J. (1941-2017).

Nacido en 1941, el doctor Picó ha sido un ávido investigador del cual se ha nutrido toda una generación de historiadores en Puerto Rico y ha sido inspiración para muchos de los que hemos disfrutado de su presencia. Su devoción a la academia era tal, que a pesar de sus males, hasta sus últimos momentos, no abandonaba para nada su tarea investigativa. Entre sus obras mejor conocidas se encuentran: Historia general de Puerto Rico1898: la guerra después de la guerraAmargo caféEl día menos pensadoLos gallos peleadosLos irrespetuososSanturce y las voces de su gente, Al filo del poder, entre otros. Hoy día se le contempla como uno de los mejores representantes de la Nueva Historia.  Que descanse en paz.

A continuación un vídeo de su magistral que diera en nuestro recinto, la Universidad de Puerto Rico en Cayey, en el año 2000.