Los comienzos de la filosofía del siglo XX – 5: El paraíso de Cantor

Los comienzos de la filosofía del siglo XX – 5: El paraíso de Cantor

Publicaciones de la serie: 123, 4

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©2018, Pedro M. Rosario Barbosa

Georg Cantor

Georg Cantor
Georg Cantor (1845-1918)

De entre los matemáticos que han pasado por la Tierra, ninguno ha creado mayor impacto en la matemática y la filosofía de las matemáticas al mismo grado que lo hizo el genial Georg Cantor (1845-1918). El gran matemático contemporáneo David Hilbert, declaró en un momento dado un dictum que se ha cumplido verbatim: “Nada nos apartará del paraíso de Cantor”. A pesar de estas palabras y, no obstante, el rechazo virulento que en sus comienzos, hoy la teoría de conjuntos está presente en cualquier libro de texto de las matemáticas.

Si este es el hecho, ¿por qué se rechazaría con tal animosidad una rama de las matemáticas tan fundamental? Y, más importante, ¿cuáles elementos de esta teoría matemática impactó la filosofía dramáticamente?
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El fundamento de las matemáticas: los conjuntos

La propuesta de Cantor comienza con la noción de conjuntos.  Para él, los conjuntos son una totalidad compuesta de elementos. Cualquier combinación de elementos cualquiera puede considerarse un conjunto. Actualmente estas son las notaciones que se utilizan para la teoría de conjuntos y que utilizaremos para comprender a cabalidad algunos de los aspectos de la teoría de Cantor.

Notación de teoría de conjuntos

{…} = Conjunto.
{1, 2, 3, 4,} = Conjunto con los elementos 1, 2, 3 y 4.
x ∈ A  = Un elemento x pertenece a un conjunto A.
x ∉ A = Un elemento no pertenece a un conjunto A.
∅ = Conjunto vacío
ℕ (también ℕ⁰) = Conjunto de números naturales que incluye el cero = {0, 1, 2, 3, 4, …}
ℤ = Conjunto de números enteros= {…, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, …}
ℕ* = Conjunto de números naturales que excluye el cero = Números enteros positivos (ℤ⁺) = {1, 2, 3, 4, …}
ℚ = Conjunto de los números racionales = números que se pueden representar en fracciones, incluye a todos los íntegros.
ℝ = Conjunto de los números reales = números naturales, los racionales y los irracionales.

Además, los conjuntos también pueden tener como elementos a otros conjuntos. Tomemos por ejemplo este:  A = {1, {2, 3}, 4}. ¿Cuántos elementos hay en este conjunto? Tres, a saber: 1 (el primero), {2, 3} (el segundo) y 4 (el tercero). Si representáramos al conjunto {2, 3} con la letra B, podemos decir que B es un subconjunto de A, o, en notación,  B ⊆ A. 

Lo del contar elementos también vale en el caso del conjunto vacío. Es decir, ∅ es el conjunto vacío, pero {∅} contaría como un conjunto que contiene un elemento, el conjunto vacío.

También Cantor originó la noción de conjunto potencia (℘), que es un conjunto que tiene como elementos todas las combinaciones posibles de los subconjuntos de sus elementos. Supongamos que tenemos un conjunto A = {1, 2, 3}. El conjunto potencia sería el conjunto de todos los posibles subconjuntos del conjunto A. ¿Cuál sería el conjunto potencia de A, es decir, ℘ (A)?

℘(A) = {∅, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {2,3}, {1,3}, {1, 2, 3}}

En general, todo conjunto potencia de cualquier conjunto C tendrá la cantidad de 2n, en el que n es el número de elementos en dicho conjunto.  Es decir,

Para cualquier conjunto C con un número n de elementos, habrá un ℘ (C) cuyo número de elementos será 2n.

El problema de los números infinitos

El paraíso al que se refería David Hilbert era el de los transfinitos en la teoría de conjuntos, idea que no era muy afín a Hilbert ni a ningún otro formalista o constructivista de la época.

Desde la Antigüedad, los matemáticos y los filósofos han cuestionado la infinitud de los números. Sabemos que los números naturales son infinitos. Sin embargo, la secuencia de números primos (1, 2, 3, 5, 7, 11,…) es también infinita. La de números impares (1, 3, 5, 7, 9, 11 …), también lo es, así como el de los pares (2, 4, 6, 8, 10, 12 …). La pregunta sería, ¿existen unos infinitos “mayores” que otros?  La misma pregunta es contraintuitiva, porque se podría decir que infinito es infinito, no hay nada mayor que eso. ¡¿Qué diantres significa que un infinito sea mayor que otro?!

Sin embargo, la misma teoría de Cantor parecería implicar distintos “tamaños” infinitos. Cantor escribió una obra titulada Sobre las propiedades características de todos los números reales (1874) y, publicó en 1897, su obra Contribuciones a la fundamentación de la teoría de números transfinitos. Ambas fueron muy influyentes en discusiones y debates entre matemáticos y filósofos. Aquí, él abría las puertas a la “existencia” de conjuntos infinitos: el conjunto de números pares, el conjunto de números naturales, el conjunto de números primos, etc.

Su teoría de conjuntos le dio mayor agarre para discutir estos temas. Si hablamos de ciertos conjuntos finitos, podemos establecer una correlación de uno-a-uno entre ellos. Si tenemos un conjunto X = {1, 2, 3, 4}  y un conjunto Y = {C, DEF}, se puede establecer una correlación uno-a-uno, ya que cada elemento de X tiene su correlato de elementos en el conjunto Y.

Biyección entre conjuntos
Correlación uno-a-uno entre conjuntos X y Y.

A este tipo de correlación se le conoce como biyección. En el caso de los conjuntos XY, se puede establecer una biyección. Cuando dos conjuntos tienen el mismo número de elementos se dice que es equinumérico. Una biyección entre conjuntos equinuméricos conservan su cardinalidad. La cardinalidad de un conjunto (simbólicamente |A| = la cardinalidad del conjunto A) es el tamaño de un conjunto en virtud de la cantidad de sus elementos. En el ejemplo que acabamos de ver, podemos decir que la cardinalidad del conjunto X es la misma que la de Y, o |X|=|Y|.

Como podemos ver, no hay problema alguno con establecer biyecciones entre conjuntos finitos, ¿pero qué hay de los infinitos? Los números naturales son infinitos. Desde la perspectiva de teoría de conjuntos, se dice que son conjuntos denumerablemente infinitos. Se puede decir con toda exactitud que el conjunto de números naturales tiene la misma cardinalidad de los números pares. Por ende, los números pares son denumerablemente infinitos.

Cardinalidad de los números pares
Cardinalidad de los números pares. (Imagen creada por Pedro M. Rosario Barbosa / Disponible bajo el dominio público / CC0).

Lo mismo se puede decir de la cardinalidad de los números primos y los de los números impares, de los cuadrados de los números, etc. Para todos los efectos, todos estos infinitos tienen el mismo tamaño.

Alef Cero
Alef Cero

Cantor le asignó un valor a esta cardinalidad y escogió la primera letra del alefato hebreo, ℵ (alef), para eso. El 0 (alef-cero) designa la cardinalidad de aquellos conjuntos equinuméricos a los números naturales. Esta noción de conjuntos ya es contraintiutiva en muchos sentidos. Por ejemplo, si |ℕ| es la misma que la de los números pares, eso quiere decir que el tamaño de infinitud de los números naturales (la totalidad) es la misma que la de una parte de ella. Esto no ocurre en el caso de los conjuntos finitos. Así que podríamos definir a los números infinitos como aquellos en los que podemos establecer una biyección con un subconjunto de ellos mismos.

Debido a esto, no debería ser sorpresa que la suma o multiplicación de infinitos de cardinalidad ℵ0 sean  también de cardinalidad ℵ0:

0    +    ℵ0   =    ℵ0

0     +    ℵ0    +    …    +    ℵ0    +   ℵ0    =    ℵ0

0     ×     ℵ0    =    ℵ0

0     ×    ℵ0    ×    …    ×    ℵ0   ×    ℵ0    =    ℵ0

Cantor probó que todos los números racionales (números expresables en fracciones) son denumerablemente infinitos. Se pueden arreglar los números racionales de la siguiente manera:

Organización de números racionales
Organización de números racionales

Una vez tenemos este esquema, podemos eliminar aquellas fracciones que significan otras que aparecen en la lista. De esta manera, podemos lanzar una flecha que de forma diagonal organice la numeración de los números racionales para establecer una biyección con los números naturales comenzando desde el cero.

Cardinalidad de los números racionales
Cardinalidad de los números racionales

Así, pues, Cantor pudo probar que el conjunto de números racionales es denumerablemente infinito.

Sin embargo, todavía no hemos tocado el tema más controversial. ¿Pueden haber unos infinitos mayores que otros?
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Tamaños de conjuntos infinitos

¿Que hay de los números reales (ℝ)? Los números reales incluyen todos los números naturales, los irracionales … y, mucho más, los irracionales (los números no expresables en términos de fracciones). Uno podría decir que la serie de números racionales es infinito. Sin embargo, intuitivamente sabemos que entre el cero y el uno también parece haber una infinidad de números racionales e irracionales.

Habría que preguntarse si |ℝ| es mayor o igual que ℵ0. Cuando se considera que los números irracionales decimalmente se extienden al infinito, debemos reorganizar estos números. Como en el caso de los números racionales, ¿podría establecerse una biyección con los números naturales?

Supongamos, para efectos del argumento, que es posible que establecer una biyección entre números reales entre 0 y 1 y los números naturales. Veamos esta representación de estos números reales que se expanden decimalmente entre 0 y 1, me basaré en la sencilla explicación que aparece en el libro de Jan Gullberg (260-261).

Expasión de espacios decimales entre los números 0 y 1
Expasión de espacios decimales entre los números 0 y 1

Ahora bien, consideren el siguiente número: 0. zI zII zIII zIV… de tal manera que:

  • zI = 8 si a1 = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, o 7; zI = 1 si a1 es 8 o 9
  • zII = 8 si b2 = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, o 7; zII = 1 si b2 es 8 o 9
  • zIII = 8 si c3= 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, o 7; zIII = 1 si c3 es 8 o 9

En tal caso es imposible que el número 0.zI zII zIII zIV… sea igual a ninguna expansión decimal de ninguna de las filas del diagrama, ya que el número zI difiere de la primera fila exactamente en a1, en la segunda fila el zII en b2, y así sucesivamente. De esta manera es falsa la premisa de que puede establecerse una biyección entre los números reales entre 0 y 1 con el conjunto de números naturales, porque siempre va a haber un número 0.zI zII zIII zIV… con el que no puede establece biyección con algún número natural.

En otras palabras, es posible de hablar de al menos un conjunto de números infinitos que es mayor que ℵ0, algo que es a todas luces contraintuitivo … pero la prueba es clara. Sencillamente el conjunto de números reales no es denumerablemente infinito.

De ahí, puede hablarse de números transfinitos, ya que Cantor pudo probar que hay una cantidad infinita de conjuntos infinitos de distintos tamaños: ℵ1, ℵ2, ℵ3, etc.
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La hipótesis del continuo

Si todo conjunto infinito puede tener un conjunto infinito como parte, entonces puede hablarse de casos en los que se puede establecer una biyección entre un subconjunto entre los números naturales, o se puede establecer una biyección con otro conjunto de mayor tamaño, como el de los números reales.

Cantor conjeturó que podría existir un número transfinito 𝔠, cuya cardinalidad sería la de los números reales entre el 0 y el 1. En un momento dado, Cantor pudo probar que la cardinalidad de los números reales es el conjunto potencia del conjunto de números naturales.

𝔠 = |ℝ| = |℘ (ℕ)| = 2ℵ0 > ℵ0

Según Cantor, podrían haber subconjuntos de los números reales que podrían tener una cardinalidad ℵ0 o de una cardinalidad 𝔠.  A esto se le conoce como la hipótesis del continuo. Esta fue una hipótesis que nunca logró probar.
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La filosofía de Cantor

Después de una brillante y, admitidamente, controvertida contribución a las matemáticas, Cantor se dejó inspirar por la filosofía. Él era exalumno del gran matemático Karl Weierstrass, quien buscaba fundar la noción de número en la secuencia de números cardinales, es decir, el orden de números que miden la cardinalidad de conjuntos (Hill y da Silva 3).

0, 1, 2, 3, … , n, …; ℵ1, ℵ2, ℵ3, … , ℵα, …

Ahora bien, como dijimos en artículos anteriores, hubo distintas vertientes filosóficas en torno a naturaleza de los números y de las verdades matemáticas. Sin embargo, fue Cantor el primer matemático revolucionario que intentó buscar una justificación filosófica de su nueva teoría. Para 1894, había dado el giro hacia la filosofía y, muy particularmente, a la teología. Filosóficamente estuvo inclinado hacia el platonismo, contemplando sus conjuntos como formas ideales a las que se adaptan los objetos del mundo. Inspirándose en la noción neoplatónica del Intelecto Divino, Cantor afirmaba que estas esencias o ideas estaban contenidas en la Mente de Dios. Su indagación en cuanto a los conjuntos era un continuo descubrimiento de nuevas verdades, no de construcciones mentales a la Kant. Debía haber alguna manera de abstraerlos de la realidad. (Hill 5-6)

Las ideas de Cantor se sumaron a las de varios matemáticos como Bernard Bolzano de que podía establecerse la aritmética (junto a las teorías de conjuntos) como una disciplina analítica que no necesariamente debía apelar a las intuición pura, como lo pensaba Kant. En ese sentido, la geometría podía fundarse en las intuiciones de tiempo y espacio, no así el resto de las matemáticas. Los números definidos de alguna manera como conjuntos podían ser la base del resto de las matemáticas.

De hecho, en 1888, le tocó formar parte de un panel de defensa de una tesis de habilitación (Habilitationsschrift) para integrar a la facultad de la Universidad de Halle a otro brillante matemático que recientemente se había interesado por fundar los números en la noción de números cardinales desde un punto de vista sicológico y no desde el platonismo. El título de la tesis era Sobre el concepto de número y su autor, Edmund Husserl. Con el tiempo, Cantor llegó a ser mentor de Husserl y, a su vez, su íntimo amigo.
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Aparecen problemas

Aun con todo y su filosofía mística, el paraíso de Cantor no estaba exento de problemas. Como veremos en nuestra próxima entrada, hubo reacciones de filósofos y matemáticos por doquier ante la propuesta de la existencia de números transfinitos. Sin embargo, Cantor estaba consciente de que sin unas limitaciones, era posible que su hermosa contemplación mal axiomatizada pudiera caer en contradicciones.

Los problemas comenzaron a surgir cuando empezaron a fijarse en un teorema derivado de los axiomas de la teoría de conjuntos, que no hay un tope de números cardinales, ya que es infinito (hay un infinito número de tamaños de infinitos). En 1899, Cantor identificó una paradoja.

Paradoja de Cantor: Como hemos indicado, un conjunto potencia del conjunto A siempre tendrá una cardinalidad mayor que A o |℘ (A)|> |A|. Ahora, la teoría de conjuntos formulada nos dice que hay distintos números transfinitos, por lo tanto, hay una infinitud de números infinitos de distintos tamaños. Es más, es posible la creación de un conjunto B infinito que contenga todos los conjuntos infinitos. Eso significa que B tiene una cardinalidad mayor que la de cualquiera que sus subconjuntos. Eso significa que ℘ (B) también es un conjunto, por lo que sería un subconjunto de B y, por ende, |B| > |℘ (B)|. Sin embargo, de acuerdo con lo que establece el teorema de los conjunto potencia, |℘ (B)| > |B|. Esto es una contradicción.

Esta no era la única paradoja descubierta en esa época.

A partir del siglo XX, dos matemáticos, Ernst Zermelo y Abraham Fraenkel, desarrollaron un sistema axiomático de conjuntos. A esto se le conoce como el sistema de conjuntos Zermelo-Fraenkel. En 1899, Zermelo descubrió que este sistema axiomático caía en una nueva paradoja. Una vez descubierta, se la dejó saber a Edmund Husserl y a David Hilbert.

La Paradoja Zermelo-Russell
La Paradoja Zermelo-Russell escrita por Edmund Husserl. (Rang y Thomas 16) Presione la imagen para versión agrandada.

Ya para entonces, Husserl había abandonado su proyecto sicologista y se adentró en las matemáticas desde una perspectiva platonista-estructural. En 1891, escribió una reseña sobre una obra de Ernst Schröder sobre el álgebra de la lógica y que fue leída por Zermelo. En esta reseña, Husserl le criticaba el descuido de la jerarquía de conjuntos que tienen otros conjuntos como elementos. Estos subconjuntos pueden tener elementos simples. Si no se distinguen bien entre un conjunto que es elemento de uno más alto y los elementos del subconjunto, se podría entrar en potenciales contradicciones.

Zermelo quería advertirle a Husserl que el problema era mucho más serio, al menos de acuerdo a la paradoja que él había descubierto en 1899. Así que en 1902 le envió una carta al respecto. La evidencia física de ello es una página en la que se halla escrita con el puño y letra de Husserl. Dice lo siguiente:

Zermelo informa (16 de abril de 1902) concerniente a la p. 272 de mi reseña de Schröder

En cuanto al problema, no en el método de prueba, Schröder está en lo correcto, de que:

Un conjunto M, que contiene cada uno de sus subconjuntos m, m’, … como elementos, es un conjunto inconsistente, i.e., dicho conjunto, si se trata como un conjunto, lleva a contradicciones.

PRUEBA. Consideremos a estos subconjuntos m que no se contienen a ellos mismos como elementos. (M contiene como elementos cada uno de sus subconjuntos; por ende, los subconjuntos de M también contendrán ciertos subconjuntos como elementos, ellos no siendo sus [propios] elementos, y ahora consideremos estos subconjuntos m, que puedan tal vez contener otros subconjuntos, pero no como elementos de sí mismos.)

Estos constituyen la totalidad de un conjunto M0 (i.e., el conjunto de todos los conjuntos de M que no se contienen a sí mismos como elementos), y ahora yo pruebo de M0,

  1. que no se contiene a sí mismo como un elemento,
  2. que se contiene a sí mismo como elemento.

Concerniente a (1): M0, siendo un subconjunto de M, es un elemento de M, pero no un elemento de M0. De otra manera, M0 contendría como elemento al subconjunto de M (es decir, M0 mismo), que se contiene a sí mismo como elemento, y eso sería una contradicción con la noción de M0.

Concerniente a (2): Por tanto M0 en sí mismo es un subconjunto de M que no se contiene a sí mismo como elemento. Por tanto, debe ser elemento de M0.

Por supuesto, un conjunto con una definición como la de M es el conjunto de todos los conjuntos. Este es también un ejemplo de que el conjunto podría contenerse a sí mismo como elemento: El conjunto de todos los conjuntos es un conjunto. (Rang y Thomas 16-17)

Si esto les suena familiar, tal vez no sea Zermelo el que venga a su mente, sino Bertrand Russell, quien descubrió posteriormente (1901)  esta misma paradoja, que hoy lleva su nombre. Hay filósofos que han argumentado que con toda justicia debería conocerse como la Paradoja Zermelo-Russell.

Esto se debe a que justo cuando el filósofo Gottlob Frege iba a publicar el segundo volumen de su obra Leyes fundamentales de la aritmética, recibió una carta del filósofo británico (1902) para señalarle que en el primer volumen, sus axiomas permitían dicha paradoja.

Esto fue muy malas noticias para Frege, cuyo proyecto logicista definió la filosofía del siglo XX, especialmente en su vertiente analítica. Sin embargo, la paradoja fue un punto de aclaración en torno a la constitución de conjuntos desarrollada por la fenomenología de Husserl. Este se convirtió a su vez en el padre de la filosofía continental contemporánea. Es irónico que hoy se consideren divididas dos vertientes filosóficas que comenzaron con dos grandes matemáticos, ambos platonistas, ambos realistas semánticos y ambos en una u otra medida grandes pensadores.

Su historia está por contarse, continuaremos…

Nota al calce: Le agradezco al amigo Richard Santiago por sus observaciones que han sido debidamente integradas al texto, específicamente sobre la distinción entre números naturales que incluyen al cero y el conjunto de números íntegros positivos. También aconsejó incluir una definición del conjunto potencia.

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Referencias

Brown, James Robert. Philosophy of Mathematics: A Contemporary Introduction to the World of Proofs and Pictures. 2da. ed. Routledge, 2008.

Cantor, Georg. Contributions to the Founding of the Theory of Transfinite Numbers. Dover, 1915.

Gullberg, Jan. Mathematics: From the Birth of Numbers. W. W. Norton & Co., 1998.

Hill, Claire Ortiz y Jairo José da Silva. The Road Not Taken. On Husserl’s Philosophy of Logic and Mathematics. College, 2013.

Maddy, Penelope. Naturalism in Mathematics. Clarendon, 1997.

Rang, B. y W. Thomas. “Zermelo’s Discovery of the ‘Russell Paradox'”. Historia Mathematica, vol. 8, núm. 1, febrero de 1981, pp. 15-22.

Tile, Mary. The Philosophy of Set Theory: An Historical Introduction in Cantor’s Paradise. Dover, 1989.

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Los comienzos de la filosofía del siglo XX – 4

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©2018, Pedro M. Rosario Barbosa

La revolución analítica de Bolzano en la geometría no fue la única ocurrida en esos tiempos ni fue una solitaria refutación de la filosofía kantiana. Al contrario, formaba parte de unos enormes cambios en el ámbito de las matemáticas que fueron acelerando en el siglo XIX y que representaron unos enormes retos para el siglo XX.

La geometría ya estaba experimentando unos enormes cambios desde el siglo XVI y que ni tan siquiera los geómetras y filósofos de la época pudieron entender por completo sus implicaciones. El psicologismo y el kantianismo privilegiaban el espacio euclideano con tres dimensiones como un sine qua non de todo conocimiento. En algunos casos, pensaban que solamente ese tipo de geometría podía ser la única legítima. Sin embargo, sigilosamente, varios matemáticos de los siglos XVIII y XIX les serruchaban esos soportes filosóficos.
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Un jesuita asombrado

Saccheri_1733_-_Euclide_Ab_Omni_Naevo_VindicatusDurante el siglo XVIII, este libro apareció para despertar la curiosidad de varios matemáticos de ese siglo y el posterior. Su autor, Giovanni Girolamo Saccheri (1667-1733), dedicó gran parte de su vida académica a explorar la posibilidad de probar la verdad absoluta de la geometría euclideana. Este intelectual fue ordenado jesuita en 1685 y se dedicó a la erudición escolástica y matemática. Su propósito era el de establecer la unicidad de la geometría euclideana.

Como tal, la geometría euclideana (al menos antes de Bolzano) no adoptaba la forma lógica o analítica que conocemos hoy día. Sin embargo, sí podía presentarse en forma deductiva y podía probarse vía Reductio ad Absurdum. Este campo descansa en gran parte en lo que se conoce como el “axioma de las [líneas] paralelas”, formulada por Euclides como un quinto postulado de su sistema tal como lu publicó en su obra titulada: Los elementos. El llamado “axioma” dice lo siguiente:

Dadas dos líneas a y b que son intersecadas por una línea c, si a b no forman un ángulo recto en relación con c, a y b se intersecarán en un momento dado al extenderse indefinidamente.

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El archivo original de esta imagen se encuentra aquí.

La pregunta de Saccheri era la siguiente: ¿es lógicamente posible algún tipo de geometría en el que no valga el “axioma de las paralelas”? Tenía una fuerte convicción de que ese no era el caso; que un espacio no euclideano era simplemente imposible. Para su sorpresa, cuando llevó a cabo su procedimiento mediante Reductio ad absurdum descubrió accidentalmente de que  era lógicamente posible una geometría donde no valiera dicho axioma.

Aun así, a pesar de esta prueba, Saccheri afirmaba con seguridad de que un espacio no euclideano no corresponde al mundo actual, por lo  que elaborar una geometría basada en ello sería una actividad fútil. Su obra sobre su famosa demostración se publicó en 1733, unos meses antes de su muerte.
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Los genios de la geometría no euclideana

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A la izquierda, Carl Friedrich Gauß y a la derecha Ferdinand Karl Schweikart.

Los matemáticos alemanes Carl Friedrich Gauß (1777-1855) y  Ferdinand Karl Schweikart (1780-1857) elaboraron más en torno a la geometría no euclideana y llegaron a conclusiones similares, aunque sin publicar sus respectivas obras y sin que uno supiera lo que hacía el otro.

No solamente los dos levantaron serias dudas en torno al llamado “axioma” de las paralelas (que después de Saccheri no se consideraba tan “axioma” como antes), sino que mostraron que se podía desarrollar una geometría distinta.

Un equivalente al axioma de las paralelas, el axioma de Playfair, que nos dice lo siguiente:

parallel.svg

Dada una línea a y un punto P no colineal, solamente puede pasar una línea b paralela a ella.

Teniendo en consideración algunas observaciones de Schweikart de la posibilidad de espacios en los que la suma de los ángulos de un triángulo eran menores de 180⁰, Gauß pudo demostrar matemáticamente que, dado el hecho de que el “axioma” de las paralelas no era lógicamente necesario, pueden existir espacios en los que pasan más de una línea paralela a la línea por un punto P.

parallel2.svg

Ambos genios matemáticos sembraron la semilla para el desarrollo ulterior de la geometría hiperbólica. Esta fue elaborada por dos matemáticos por separado: el matemático húngaro, János Bolyai (1802-1860), cuyo padre conoció bien a Gauß y a un matemático ruso, Nikolai Lobachevsky (1792-1856), quien fue influenciado por un maestro amigo de Gauß.

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A la izquierda János Boyai, a la derecha Nikolai Lobachevsky.

La geometría hiperbólica describe lo que Gauß denominaba “de curvatura negativa”. En este tipo de curvatura, a diferencia del espacio euclidiano, la suma de los ángulos de un triángulo es siempre menor de 180⁰.

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Representación de un espacio hiperbólico

 

No fue hasta Eugenio Beltrami (1835-1900) que se pudo mostrar que el la geometría hiperbólica era consistente.

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Bernhard Riemann

Sin embargo, la geometría hiperbólica y la exploración de espacios hiperbólicos en general no agotó la totalidad de espacios no euclidianos. Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866), un matemático alemán que enseñaba matemáticas en la Universidad de Göttingen, estuvo explorando los espacios elípticos, es decir, aquellos “de curvatura positiva”. En dichos espacios, la suma de los ángulos de un triángulo es siempre mayor a 180⁰.

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Representación de un espacio esférico

Sin embargo, la aportación de Riemann fue mucho más que la de explorar un tipo de espacio. Tal vez, una de las más importantes fue su noción de multiplicidad, concepto que llegaría ser fundamental para formular la teoría general de la relatividad décadas después. Riemann utilizó el cálculo diferencial para la exploración de “multiplicidades” espaciales, es decir, diferentes superficies espaciales en todo tipo de espacio posible. Para todos los efectos, desarrolló la topología espacial, no solo de espacios euclideanos y no euclideanos, sino también aquellos de múltiples dimensiones (lo que llegó a denominarse n-dimensiones). Esta teoría de las multiplicidades es el corazón de la geometría riemanniana.
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La relación entre la geometría no euclideana y las ciencias naturales

Las reacciones de otros filósofos, matemáticos y filósofos no se hicieron esperar. Hubo toda una variedad de reacciones ante este y otros desarrollos de la geometría analítica y la geometría no euclidiana. Una muy buena parte de los mejores filósofos no matemáticos descartaban la importancia de estos desarrollos. El científico y brillante filósofo de las ciencias Pièrre Duhem (1861-1916) se expresaba totalmente en contra ellos, lo que no es sorpresa dado que se opuso a la teoría general de la relatividad en años cercanos a su muerte en 1916.

El neokantismo también rechazaba esta posición. Aunque Kant sí estaba abierto a una “geometría suprema” –a la que distinguía de la geometría euclidiana– algunos de sus representantes tales como Paul Nartorp utilizaba el argumento kantiano de las contrapartidas incongruentes como fundamento intuitivo de la geometría. Para Kant, el espacio, como forma de la intuición, debía concebirse newtonianamente, es decir, como un absoluto en el que se encuentran los objetos. Esta es una condición de posibilidad (a priori) de las contrapartidas incongruentes, es decir, la posibilidad de que constituyan objetos semejantes en todo aspecto, excepto en su orientación espacial opuesta. Por ejemplo, imagínese estar frente a frente con otra persona idéntica a usted en todos los aspectos. Alguien que hiciera una aproximación leibniciana, es decir, puramente relacional, diría que los dos son puramente idénticos en todos los aspectos. Sin embargo, en un espacio como marco de referencia absoluto no son totalmente idénticos, ya que la orientación de ambas es distinta. Por tanto, un espacio de tres dimensiones euclidiano es una condición de posibilidad de toda intuición sensible.

En otros casos, como el del matemático y físico Henri Poincaré (1854-1912), se podría percibir un tipo de tensión con este tipo de geometría en su relación con las ciencias empíricas. A pesar de los avances analíticos de este campo, es notoria su perspectiva de las matemáticas en general como ciencias sintéticas, cuyas definiciones y nociones son adoptadas por convención. Desde su perspectiva, él atacaba varias de las ramas de las matemáticas adoptadas en su tiempo, tales como la teoría de conjuntos desarrollada por Georg Cantor (1845-1918). El sentimiento general de los pensadores de la época era que la geometría no euclideana no tenía valor científico en lo absoluto. Aunque Poincaré era afín a este punto de vista, en su obra, Ciencia e hipótesis (1904), pudo distinguir entre las dimensiones lógicas y epistemológicas de la geometría no euclidiana.

Para cuando escribió su obra, los matemáticos en general contemplaban el espacio euclideano como uno de uno de infinitos espacios lógicamente posibles. Estas posibilidades debían distinguirse del espacio físico actual, cuya figura se determinaba empíricamente. Decía Poincaré, que era perfectamente posible suponer un espacio no euclideano –un espacio más complicado que el euclideano– para la adopción de alguna teoría más simple que la que se asumiría si se supusiera un espacio euclideano. A pesar de esta observación, choca que él mismo afirmaba que era altamente improbable que estas posibilidares se tornasen en una realidad.

Albert Einstein mostraría eventualmente que, en este último punto, Poincaré estaba rotundamente equivocado.
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Bibliografía

Gillies, Donald. Philosophy of Science in the Twentieth Century: Four Central Themes.  Blackwell, 1993.

Harrison, Edward. Cosmology: The Science of the Universe. Cambridge UP, 2000.

Kant, Immanuel. Principios metafísicos de la ciencia de la naturaleza. Alianza, 1989.

—. Prolegómenos a toda metafísica del futuro. Traducido por Julián Besteiro y A. Sánchez Rivero, Losada, 2005.

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Torretti, Roberto. Manuel Kant. E de la U de Chile, 1967. 

—. Philosophy of Geometry from Riemann to Poincaré. Kluwer, 1984.

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Van Fraasen, Bas. An Introduction to the Philosophy of Space and Time. Columbia UP, 1985.

Wilson, Catherine. “Leibniz’s Influence on Kant”. The Stanford Encyclopedia of Philosophy , 2018. https://plato.stanford.edu/archives/spr2018/entries/kant-leibniz/.

Wolfe, Harold E. Introduction to Non-Euclidean Geometry. Dover, 2012.

 

Exposición “Colapso tropical”

Exposición “Colapso tropical”

Exhibición Colapso  Tropical

De los días 18 de enero al 9 de febrero, la profesora Ninoshka Coll está llevando a cabo una exposición de arte en la Biblioteca de la Universidad de Puerto Rico en Cayey, de lunes a viernes de 8:00am a 4:00 en el tercer piso de su biblioteca.  La apertura será el día de hoy a las 11:00 de la mañana.

La ética de la redistribución de riquezas – 1

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©2016, Pedro M. Rosario Barbosa

Los valores éticos y la naturaleza humana

El ser humano es dos cosas, un animal moral y un animal ético. Muchos eticistas distinguen dos nociones a las que se les han asignado diversos términos, pero aquí adoptaremos las de “moral” y “ética“. Por la primera, entenderemos los usos y costumbres sociales, mientras que en el caso de la última entenderemos por el acto correcto o bueno. Pueden haber normativas morales que son antiéticas (e.g. la circuncisión femenina) o comportamientos éticos que cierta sociedad pueden considerar inmorales (e.g. el racismo como algo aceptable en ciertas sociedades).

Existen muchos animales no humanos que son morales y cuya herencia genética y su interacción social permiten que ellos actúen de acuerdo a ciertos valores morales primordiales, especialmente el de justicia.  El primatólogo y etólogo Frans de Waal, nos muestra con claridad el hecho de que a pesar de que nuestros primos genéticos como los chimpancés, los bónobos y otros más lejanos como los elefantes o ciertas especies de pájaros tienen comportamientos egoístas, a la misma vez gozan de un cierto sentido de justicia y, en algunos casos, de genuino altruismo.

Este es el mismo sentido innato de justicia que compartimos los seres humanos. Sin embargo, de entre los simios y de los animales a nivel mundial, los seres humanos somos seres éticos. Esto significa dos cosas:

  1. Que los seres humanos podemos prever las consecuencias de nuestras acciones a largo plazo y, con base en eso, podemos tomar decisiones racionales al respecto;
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  2. Significa también que podemos evaluar de manera crítica los valores morales individuales o sociales que consideramos fundamento de nuestras acciones.
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Disposiciones natas al egoísmo y a la justicia

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Una de las cosas que cierta gente suele afirmar sin reparos es el hecho de que los seres humanos en general somos egoístas. Hasta muchos están dispuestos a aceptar que es una característica innata. Sin embargo, no pensamos lo mismo del tema de la justicia. Hasta hay muchos economistas que trabajan con los llamados “modelos de selección racional” que suponen que todo ser humano actúa solo según consideraciones egoístas.

Esto se puede refutar muy fácilmente con teoría de juegos. Uno de los juegos mejor conocidos es el Juego del ultimátum. Digamos que tengo a dos estudiantes sentados ante mí y tengo cien billetes de $1.00 conmigo. Yo le doy los cien billetes al estudiante A y doy las siguientes instrucciones:

“Propón una división de los billetes de la manera que desees al estudiante B. Si ambos están satisfechos, se pueden quedar ambos con el dinero. Si el estudiante B no acepta, entonces el dinero me lo devuelven y ustedes se quedan sin nada.”

Los modelos de selección racional que utilizan varios economistas predicen que el estudiante A propondrá repartir el dinero de tal manera que él se quede con $99.00 y el estudiante B con $1.00; este último aceptará las condiciones porque tener $1.00 es mejor que no tener nada. Eso no es lo que vemos en la práctica. Usualmente se acepta que el dinero se reparta $50.00-$50.00, o algo así como $60.00-$40.00, pero si se sugiriera $90.00-$10.00, entonces la distiribución es rechazada y ambos se quedan sin dinero. El estudiante B preferiría no tener nada a aceptar un dinero que entiende que ha sido repartido  injustamente. Esto se parece a uno de los casos con los monos capuchinos que vemos en el vídeo de Frans de Waal.

El juego del ultimátum es particularmente útil para entender un fenómeno que se manifiesta en el mercado y que las ideologías del conservadurismo libertario o el de la izquierda política progresista parecen no entender muy bien: el fenómeno de la redistribución de riquezas.
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Ronald Coase y su crítica a la aproximación moral y ética de externalidades mutuas

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Ronald Coase. Foto cortesía del Coase-Sandor Institute for Law and Economics, de la Escuela de Derecho de la Universidad de Chicago

Uno de los grandes genios de la economía del siglo XX, Ronald Coase (1910-2013), con sus rechazos a ciertas políticas gubernamentales y su debate con otro gran economista, A. C. Pigou (1877-1959), trabajó el tema de lo que llamó “externalidades“. Por “externalidades” (negativas) entendemos el costo asumido por algún tercero como resultado de una transacción particular.

En el brillante, aunque marcadamente sesgado –y algo malinformado– documental The Corporation, se trata profundamente el tema de las externalidades corporativas.  A medida que las corporaciones “internalizan” las ganancias,  externalizan los costos por razones de competencia. Estos son asumidos por la sociedad produciendo enormes daños individuales y colectivos: contaminación del ambiente, emisiones de gases de efecto de invernadero, “sweatshops“, guerras internacionales por razón de materia prima y combustibles, privatización del agua, terminación de sindicatos, reducción exagerada del gobierno, la reducción del estado benefactor, entre otros.

Algunos en la derecha política y el conservadurismo libertario piensan que muchas veces ese costo social es necesario para el avance de la economía. En el caso de la izquierda política, algunos piensan que la redistribución de riquezas de las enormes ganancias corporativas y, en algunos casos, la terminación de los beneficios corporativos y del capitalismo son las mejores soluciones. En muchos casos, se quieren penalizar a las corporaciones como “victimarias” para compensar a las “víctimas”.

No cabe duda de que la mayoría de los casos las corporaciones tienen una responsabilidad ética de reparar los daños provocados. Sin embargo, cabe la pregunta de si el marco moral o ético de “víctima” vs. “victimario” es adecuado cuando tratamos el tema de las externalidades. También cabe preguntarse si las corporaciones serían disfuncionales bajo un esquema de redistribución de riquezas. Tal vez Coase nos ayude a entender el problema de fondo.

En 1959, publicó un artículo extenso (de cuarenta páginas) titulado “The Federal Communications Commission” en la revista The Journal of Law & Economics., donde argumentaba en contra de ciertas políticas de concesión o denegación de licencias a estaciones de comunicación. En ocasiones unas frecuencias radiales afectaban a las otras, lo que llevaba a toda serie de conflictos de índole económicos y políticos. En este último caso, se argumentaban violaciones a “la libertad de expresión”.  Los casos se tornaban en principio adversativos y se atendían de esa manera en los tribunales bajo el marco de “víctima” o “el victimario”.

Coase retó ese esquema legal porque esto no se trata de “víctimas” y “victimarios”, no es un problema ético sino fundamentalmente económico, un problema de externalidades recíprocas. La economía no es otra cosa sino el manejo inteligente y eficiente de recursos escasos. Las frecuencias de radio, el área que se transmiten, entre otros, son recursos escasos. Por ende, a medida que aumentaban las estaciones de radio por unidad de área, confligían las frecuencias de las estaciones entre sí. Ninguno es “víctima” o “victimario”, sino que todo es resultado de mala distribución de frecuencias y sus limitaciones. De acuerdo con Coase, estas regulaciones de la FCC estaban desenfocadas. Al contrario, el estado no debía regularlas de esa manera, sino más bien conceder negociaciones libres de las partes en conflicto para que hicieran análisis de costo y beneficio y adoptaran la solución más eficiente a dichos problemas. Tras esto, parecería que Coase está “dejándolo todo al sector privado” y que se dejara actuar a la famosa “mano invisible” de Adam Smith. No necesariamente.

Para ilustrar su propuesta, examinó un caso bien famoso entre un confitero y un médico (Sturges v Bridgman (1879) LR 11 Ch D 852 ) que se encontraban adyacentes. El ruido producido por la maquinaria del confitero no representaba ningún problema hasta que ocho años más tarde de haberse establecido el médico, este decididiera crear una oficina de consultoría en un lugar de su edificio más cercano a la confitería. El ruido interrumpía continuamente las labores del médico, por lo que decidió demandar al confitero. El tribunal decidió que el confitero debía pagarle el costo de  las pérdidas al médico.

Coase señala que el juez se equivocó con su decisión, porque utilizó el marco de “víctima y victimario”. Enfatiza el hecho de que determinar quién es la víctima y quién es el victimario no es del todo claro. Al contrario, no se ve claramente por qué el confitero debía pagar si el médico fue el que llevó a cabo los cambios que afectaron su negocio. El área de tolerancia de ruido es un recurso escaso. Sin querer, ambos acabaron externalizándose recíprocamente: uno mediante el ruido y el otro mediante una demanda. Para Coase, aun con todo y la demanda, hubiera sido mucho mejor que ambas partes hubieran negociado mutuamente la salida más eficiente a su situación.

Consideremos la siguiente situación una vez establecidos los derechos legales de las partes. A toda externalidad recíproca se le puede poner un costo (usando los precios de aquella época):

  • El médico podría rehusar mudarse a otro lugar a un costo de $200.
  • El confitero podría rehusar su derecho a hacer ruido con su maquinaria a un costo de $100.

No importa quién ganara el caso, todo dependía de la “voluntad de pago” de cada uno. Tal vez, el confitero mismo podría gastar $100 para reducir el nivel de ruido o el médico pagar más de $200 para mudarse de lugar. O el médico podría pagar $100 para que el confitero redujera el nivel de ruido o el confitero pagar $200 para que el médico se mudara. Parecería que la medida más razonable y eficiente entre ambas partes es la de una inversión de $100 (por parte de alguno de los dos o por ambos) para la reducción del ruido del confitero. Si alguna de las dos partes no llegaba al acuerdo, entonces la medida más eficiente sería la del pago por la mudanza del médico.

Coase no veía por qué el mismo razonamiento no se podía aplicar a los casos de externalidades recíprocas en el ámbito de las comunicaciones y sugirió un sistema de negociación de precios en el sector privado en vez de las regulaciones –en ocasiones arbitrarias– de la FCC.

Debido a ciertos debates que surgieron a raíz de este escrito, Coase escribió un año más tarde su famoso ensayo “The Problem of Social Cost” (1960), es decir, el problema de las externalidades. El texto también se publicó en Journal of Law and Economics. Allí elaboró con mucho mejor lujo de detalles este mismo punto. Este es el artículo más citado en la historia de la economía y por ese y otros escritos ganó el Premio Nóbel de Economía en 1991.

Los ideólogos de la derecha política y los conservadores libertarios admiran a Ronald Coase y piensan que ese escrito implica que hay que dejárselo todo al libre mercado y que el estado es realmente un estorbo a negociaciones libres. En otras palabras, hay que dejar que opere la famosa “mano invisible” del mercado, por el que Adam Smith tanto abogaba. Como señala el economista Robert H. Frank en su libro The Darwin Economy, nada más lejos de la verdad.
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La falacia del conservadurismo libertario

Frank argumenta que muchos economistas y políticos que sostienen que Coase es su héroe no han puesto sus ensayos en el contexto de la totalidad de su obra. Durante los años 30, Coase publicó un ensayo muy conocido titulado “The Nature of the Firm” y planteaba que en un muy buen número de casos, la negociación entre partes usualmente era disfuncional (planteaba este problema como explicación del fenómeno de las firmas corporativas, en la que hay un poder supervisor que determinara las reglas para la producción colectiva de mercancías). Lo mismo ocurre en el caso del estado.

El verdadero planteamiento de Coase es el siguiente:

El estado debería asignar a las partes en conflicto sus respectivos derechos para facilitar su negociación libre en el mercado. Sin embargo, cuando el sector privado falla en ello, entonces le corresponde al estado tomar decisiones cónsonas con la producción de un resultado particular de lo que hubiera ocurrido si las dos partes hubieran   negociado libre y racionalmente entre ellas.

La razón de por qué Coase estuvo de acuerdo con un esquema de precios –esencialmente un sistema de subastas–, es que reproduciría aproximadamente (con todas sus imperfecciones) lo que ocurriría si las estaciones radiales hubieran negociado racional y libremente entre ellas. La norma general es que los recursos escasos tienen un precio en el mercado, que a su vez dependen de la oferta y la demanda efectiva. Una vez más, esto es un problema económico. Aquellos que tienen más dinero usualmente tienen mayor capacidad y, por ende, voluntad de pago que aquellos que cuentan con menos dinero. Por tanto, el gobierno le cobraría a una estación de radio el uso de la frecuencia y los límites de espacio aéreo para su uso dependiendo de su voluntad de pago por ello mediante algún tipo de impuesto. Su cobro compensaría el costo social por el que incurrirían estaciones  o individuos con mucho menos dinero, pero que no pueden acceder al mercado como quisieran. Además, si se implementa un impuesto progresivo,  impuestos más altos a aquellas estaciones con más dinero y más bajos para aquellas con menos dinero brindarían mayores oportunidades y espacios para estas últimas. En efecto, sería, en cierto sentido, una política de redistribución de riquezas.

Desde un punto de vista ético, no es válido el planteamiento de que “todo el mundo tiene derecho a su riqueza” o que “todo impuesto es un robo”. Los que argumentan así se les olvida que no hay un derecho ético a la propiedad o la riqueza. Como bien argumentan Liam Murphy y Thomas Nagel en su libro The Myth of Ownership, solo con la existencia del estado puede asignarse lo que es “propiedad” de alguien, pero no de acuerdo con el objetivo de protegerla a toda costa como valor absoluto, sino como medio para el fin último: el bienestar social. Siguiendo el esquema de Coase, deberíamos formular leyes de propiedad de tal manera que reproduzcan lo que individuos racionales hubieran negociado libremente si hubieran tenido la oportunidad … esto incluye la redistribución de riqueza para resolver problemas externalizantes debido a la naturaleza imperfecta del mercado y sus estructuras.

Y aunque el sector privado, especialmente los conservadores fuertemente asociados a las  grandes corporaciones, juren que la redistribución de riquezas es una mala idea, el gran secreto es que ellas mismas la ponen en práctica y no lo saben.
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Redistribución de riquezas en el sector privado

Desde hace varias décadas, muchos economistas se han percatado que en la mayoría de los sectores económicos, sean públicos o privados, existe un fenómeno conocido como “compresión de salarios”.  La siguiente gráfica nos dará una idea de lo que se trata:

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De acuerdo con la economía clásica, se supone que a un obrero se le paga un salario proporcional a su nivel de producción. Mientras mayor sea la producción, mayor es el salario; menor producción, menor salario. Se ha podido percatar en todo el mercado que, en términos absolutos, aquellos que más producen reciben más que los que menos producen. Sin embargo, esto no ocurre en proporción 1:1 como se solía pensar.  Al contrario, aunque en términos absolutos aquellos que producen más reciban mayor salario, en términos relativos aquellos que producen menos reciben mayor salario en proporción a lo que producen, mientras que aquellos que producen más reciben menor salario en proporción a lo que producen. El resultado es que en cada grupo laboral (el A, B y C) encontramos una compresión salarial.

¿Por qué es esto así? La respuesta se halla en nuestro innato sentido de equidad y justicia ante un problema de externalidades recíprocas, tal como Coase lo había descrito en sus obras.  El ser humano es complejo y no necesariamente todos los individuos están movidos estrictamente por razón de maximizar sus ganancias o tener un alto puesto. Aquellos que les interesa un alto puesto, pero no ganar mucho dinero, usualmente gravitan a un grupo como el de A. Aquellos que les interesa el dinero, pero no el alto puesto, usualmente terminan en un grupo laboral como el de C. Finalmente, aquellas personas con intereses mixtos tienden a un grupo como el de B. Mejor que cualquier otro sistema, el capitalismo tiene la virtud de ser flexible ante estas consideraciones humanas, aunque la distribución de personas en estos grupos laborales no sea perfecta.

Frank ha resaltado la situación relacional entre cada grupo laboral considerada como sociedad local. En cada grupo podemos ver la compresión salarial a nivel local. Aquellos que están en un puesto mayor suelen ser un número de individuos mucho más pequeño que los que están en un puesto más bajo. El estar en una posición de mayor producción es un bien escaso al que solo unos pocos miembros del grupo laboral tendrán acceso. Por la naturaleza de los bienes escasos, combinada con el sentido de justicia y equidad de los individuos, se establece una situación de externalidades recíprocas. La estructura per se es la que lo permite: si existe un alto puesto, entonces necesariamente tiene que existir un bajo puesto; si el alto puesto solo lo pueden ocupar un pocas personas, eso significa necesariamente que la mayoría no la puede ocupar. El del alto puesto fuerza al de bajo puesto a estar en un bajo puesto (perdonando la redundancia). Eso es un costo, una externalidad.

Muchos podrían justificar la proporción 1:1 de producción y salario con base en que los trabajadores en un alto puesto “se lo merecen”, han trabajado bien duro para estar  en su lugar de trabajo. Sin embargo, como Frank ha señalado en su libro más reciente, Success and Luck (2016), esa manera de pensar pasa por alto el rol que tienen las situaciones accidentales y azarosas a la hora de llegar a una posición de éxito. Alguien puede llegar a una posición de éxito por:

  1. Porque se lo merece.
  2. Porque es amigo del jefe.
  3. Porque se lo merece, aunque muchos otros individuos en el grupo también se lo merezcan.
  4. Porque aparecieron unas circunstancias accidentales en los que X era más indicado, aunque antes de ese incidente hubiera sido Y.
  5. Porque el jefe quería que X tuviera el puesto, pero como tuvo un accidente, puso a Y.
  6. Porque X tuvo un problema emocional en su alto puesto, tuvieron que sustituirlo con Y.
  7. … etc.

Aquellos que producen menos pueden percibir una situación de un alto nivel de inequidad por lo que los predispone producir mucho menos. Esto lleva a que la totalidad del grupo produzca menos aun cuando aquellos en un alto puesto produzcan más. La falta de esta disposición a aceptar una posición de inequidad es otra forma del mismo problema que notamos cuando discutimos el juego del ultimátum. Esto a la larga le cuesta al grupo entero, incluyendo a los que están en alta posición. Esto sería también una externalidad.

Pues, el remedio económicamente más eficiente para tratar este problema de externalidad recíproca es la redistribución de riquezas. Mediante la compresión de salarios, las compañías en general crean exactamente el equivalente a una transferencia de ingresos de aquellos que producen más a aquellos que producen menos. En otras palabras, la misma industria sigue el consejo de Coase: producen una situación de lo que hubiera ocurrido si aquellos que producen más y aquellos que producen menos hubieran negociado libre y racionalmente en torno a su problema de externalización recíproca.

¿Funciona? Esta normativa adoptada por toda la industria nos deja ver que sí. Para todos los efectos, para maximizar sus ganancias, las compañías mismas se convierten algo equivalente a un miniestado benefactor.

Continuará ….
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Bibliografía

Aristóteles. Ética nicomáquea / Ética eudemia. Madrid: Editorial Gredos, 2001.

Coase, Ronald. “The Nature of the Firm.” Economica, 4, 16 (1937): 386-405. doi:10:1111/j.1468-03351937.tb00002.x.

—. “The Problem of Social Cost.” Journal of Law and Economics. 3 (octubre 1960):
1-44.

Frank, Robert H. The Darwin Economy: Liberty, Competition, and the Common Good. Princeton: Princeton University Press, 2011.

—. Success and Luck: Good Fortune and the Myth of Meritocracy. Princeton: Princeton University Press, 2016.

—. What Price the Moral High Ground?: How to Succeed without Selling Your Soul. Princeton: Princeton University Press, 2010.

Macedo, Stephen y Josiah Ober. Primates and Philosophers: How Morality Evolved. Princeton: Princeton University Press, 2006.

Murphy, Liam y Thomas Nagel. The Myth of Ownership: Taxes and Justice. Oxford: Oxford University Press, 2002.

de Waal, Frans. Chimpanzee Politics: Power and Sex among Apes. US: John Hopkins University Press, 2007.

—. Good Natured: The Origins of Right and Wrong in Humans and Other Animals. US: Harvard University Press, 1996.

Los comienzos de la filosofía del siglo XX – 3

Publicaciones de la serie: 1, 2

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El cálculo como problema metafísico

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A la izquierda G. W. Leibniz y a la derecha Isaac Newton. Ambos desarrollaron el cálculo infinitesimal por separado, lo que llevó al segundo de acusar de plagio al primero. En el medio, una página de la obra de Leibniz, Nova methodus pro maximis et minimis, donde desarrolló su propuesta (1684), publicada antes de la obra de Newton, De analysi per aequationes numero terminorum infinitas (1711).

Uno de los más graves problemas del siglo XIX es la manera en que el desarrollo de ciertas áreas de las matemáticas parecían corroborar la tesis kantiana de que sus juicios se fundaban todos en la intuición pura (tiempo y espacio puro de todo contenido empírico) y no exclusivamente en la razón deductiva no intuitiva (analítica a priori).

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El obispo George Berkeley, filósofo empirista

Aunque parezca increíble, lo mismo se planteaba en torno al cálculo desarrollado por G. W. Leibniz e Isaac Newton. Según algunos filósofos de la época, el éxito de esa disciplina era constatable en la filosofía natural de Newton. Gracias a ella, se pudo elaborar con mayor rigurosidad su teoría gravitacional.

No obstante ello, el cálculo parecía una aberración. Con su noción de “límite”, el cálculo traía a colación la convergencia gráfica a unos números específicos ad infinitum sin jamás llegar a ellos. Dependiendo de la ecuación, podríamos encontrar el caso de una razón con una variable en su denominador y cuyo límite implicara un acercamiento infinito al número cero, pero sin llegar a él (una división por cero es imposible). Como si no fuera suficiente, el cálculo era la manera en que se podía describir con ecuaciones, el movimiento de una partícula en un plano cartesiano. Además, se hablaba del “fluido” de las líneas, entre otras extrañezas. El famoso filósofo empirista y obispo anglicano, George Berkeley (1685-1753), comparó este fenómeno matemático con las especulaciones teológicas, medievales y absurdas que eran remanentes o “fantasmas” de las discusiones sobre lo “infinitamente grande o pequeño”. Para él, estas nociones del cálculo son claras y distintas para la razón, pero no tienían base alguna en la experiencia.

Más adelante, vía la obra de Joseph-Louis Lagrange (1736-1813), específicamente su Teoría de las funciones matemáticas (1797), se logró establecer una cierta unificación del cálculo matemático con el álgebra para que estas infinitudes se volvieran mejor inteligibles y aceptables desde el punto de vista matemático. Esto sacaría a la noción extraña de “límite” de la oscuridad “metafísica” que le caracterizaba. Como diría el erudito José Alberto Coffa, el acercamiento de Lagrange no remedió esta oscuridad y por tal razón, fue muy criticado, especialmente por haber utilizado un acercamiento analítico y no constructivista.

La resolución de Bolzano: El rigor analítico

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Bernard Bolzano

Sería Bernard Bolzano el que retomaría este problema y seguiría la ruta trazada por Lagrange, pero desde una perspectiva distinta. Como dijimos en nuestro artículo anterior de esta serie, él postulaba la existencia (una ontología) de los significados en sí o de las proposiciones en sí. Por ende, profesaba una suerte de realismo en la modalidad de platonismo. Sin embargo, esto no agotaba en lo absoluto los tipos de entidades existentes en un plano abstracto y atemporal. Bolzano pensaba que los objetos de las matemáticas (especialmente la aritmética y el cálculo) compartían este mismo estatus y que podían probarse analíticamente por la pura razón sin necesidad de recurrir a alguna doctrina construccionista de la “intuición pura” kantiana.

Hay aserciones matemáticas verdaderas, pero no evidentes y cuya verdad necesitaba ser probada. Eran esencialmente conjeturas que podrían considerarse teoremas potenciales. Para probarlas, no hay que recurrir para nada a nociones geométricas espaciales en la intuición pura. Son verdades analíticas, según su definición de analiticidad. Las gráficas del cálculo no representan en última instancia “flujos” o “dinámicas” espaciales (como alegaba Newton). Podríamos eliminar de nuestra consideración todo elemento espacial y tratar las ecuaciones del cálculo de manera puramente analítica.

Finalmente, en 1817, el genial matemático Bolzano, logró probar con todo rigor que:

… existe una función f(x) tal que si x es un valor, entonces la diferencia f(xw) – f(x) puede ser cada vez más pequeña que cualquier cantidad que le asignemos a w (Bernard Bolzano, “Rein analytischer Beweis des Lehrsatzes,” en Bernard Bolzano, Early Mathematical Works (1781-1848), editado por L. Novy (Praga: Institute of Czechoslovak and General History CSAS, 1981), 427-428.)

Hoy día, los matemáticos utilizan las definiciones delta (δ) y epsilón (ε) de continuidad (Coffa 1998, 28). También allí, probó por primera vez el Teorema del valor intermedio (como cortesía hacia los lectores, evitaré algunos tecnicismos matemáticos):

Teorema: Si f(x) es una función continua en un intervalo cerrado [a,b], con f(a) y f(b) con signos opuestos, entonces existe un punto c entre y b en el que f(c) = 0.

Prueba: Supongamos que f(a)<0<f(b). Supongamos también que hay una secuencia de números reales S en el que x es cualquier número entre b (incluyendo a ambos) y cuyo f(x)<0. Esta secuencia no está vacía y está acotada por b, así que tiene al menos una cota superior c. Hay tres posibilidades:

  1. f(c) < 0. Si este es el caso, entonces hay un intérvalo cercano a c en el que f(x)<0 para todo intérvalo incluyendo a aquellos que son mayores que c. Esto contradice el supuesto de que c es la cota superior.
  2. f(c) > 0. Si esto es verdad, entonces hay un intérvalo abierto cercano a c en que f(x)>0 para todo intérvalo, incluyendo a los menores de c. Sin embargo, esto es imposible porque ya definimos a c como la menor de todas las cotas superiores, por lo que f (x) < 0 para todo x menor que c.
  3. f(c) = 0. Las otras dos posibilidades quedan excluidas, por lo que nos resta esta opción. QED.

Varios años más adelante, el matemático francés, Augustin Louis Cauchy también ofreció otra demostración del mismo teorema (1821).

Sin embargo, en realidad, el teorema anterior puede considerarse una instancia de otro teorema mucho más general:

Teorema: Si f(x) es una función continua en un intervalo cerrado [a,b], en el que f(a)<u<f(b), entonces existe un punto c entre y b en el que f(c) = u.

Las consecuencias filosóficas de las pruebas de Bolzano

Fuera de la fascinante historia matemática, todo esto apuntaba a un error fundamental de la filosofía kantiana. Su semántica estaba rotundamente equivocada cuando limitaba a la analiticidad de las proposiciones (incluyendo a las matemáticas) a la estructura de sujeto-predicado. Sin embargo, lo más fundamental es que no hacía falta apelar de manera alguna a las famosas “intuiciones puras” de tiempo o espacio impuestas por la mente humana para validar los teoremas matemáticos de una manera absolutamente certera.

Esto también tenía otras implicaciones filosóficas inesperadas para los seguidores cientificistas y naturalistas kantianos. Desde el punto de vista epistemológico, Bolzano pudo demostrar que nadie sabía si un teorema era verdadero hasta que finalmente se pudiera probar. Es decir, las matemáticas constituyen verdadero conocimiento. Esto afirmaba la convicción platonista de Bolzano: existen verdades matemáticas en sí que nadie conoce hasta que se conciben en el entendimiento y se conocen por autoevidencia o por prueba matemática. Es más, dichas verdades nos hablan de unas entidades matemáticas. Si estas proposiciones son verdaderas, es porque dichas entidades existen.

El psicologismo nunca estaría de acuerdo con esta posición. Sin embargo, vinieron otros filósofos y matemáticos que socavaron más los fundamentos kantianos y psicologistas del siglo XIX.

Bibliografía

Brown, James Robert. Philosophy of Mathematics: A Contemporary Introduction to the World of Proofs and Pictures. NY: Routledge, 2008.

Coffa, José Alberto. The Semantic Tradition from Kant to Carnap: To the Vienna Station. Cambridge: Cambridge University Press, 1998.

Los comienzos de la filosofía del siglo XX – 2

Publicaciones de la serie: 1

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El nacimiento de la semántica

Kant estaba equivocado cuando consideraba a la lógica como {una disciplina} terminada.”
-Bernard Bolzano

El siglo XIX vio nacer una variedad de perspectivas filosóficas sin precedentes hasta ese momento. Ya hemos mencionado a los idealistas alemanes y a los psicologistas. Podemos añadir perspectivas existencialistas –inauguradas por la obra de Søren Kierkegaard– y pensadores que enfatizaban la importancia moral de la voluntad, entre ellos Arthur Schopenhauer y Friedrich Nietzsche, entre otros. Otros campos relacionados con los anteriores incluian los biologistas, antropologistas, economicistas, ficcionistas y otras mentes afines a estas perspectivas.

A pesar de que todas estas constituyeron campos dominantes en la filosofía, casi nadie contaba con la visión admitidamente exótica de un sacerdote checo, filósofo y matemático conocido hoy como Bernard Bolzano.

La obra de Bolzano

Bernard_BolzanoBernhard Placidus Johann Gonzal Nepomuk Bolzano (1781-1848) no parecía ser en su tiempo un candidato a ser de los pensadores más influyentes en el futuro. Durante sus estudios universitarios, estudió filosofía, matemáticas y física. En 1805, se ordenó sacerdote católico después de algunos años de estudios teológicos y laboró como professur ordinarius de la Facultad de Filosofía de la Universidad de Praga. Parte de las razones por las que no se hizo muy popular se debió a su personalidad, especialmente muy inclinada a condenar el militarismo y fomentar las vías pacíficas. Después de ser destituido de su puesto por las autoridades del Imperio Austríaco —como consecuencia de su visión progresista— se le prohibió enseñar o publicar de filosofía, teología, lógica y ciencias. Fue exiliado a la ruralía y subsistió con a una pensión “graciosa” concedida por el Imperio.

Durante esos años, su salida de la docencia no detuvo su labor intelectual y escribió los cuatro volúmenes de su gran obra Teoría de las ciencias, publicada en 1837. Muy pocos filósofos de su tiempo le prestaron la atención merecida. Hijo intelectual de Leibniz, Bolzano adoptaba una posición altamente inusual en aquella época: que las matemáticas y la lógica eran dos disciplinas cercanas y analíticas a priori, y que ambas eran formales y deductivas exclusivamente a partir de conceptos. Se apartó de la opinión de Kant de que debía caracterizarse a las matemáticas como campo sintético a priori y trabajó arduamente para buscar unos nuevos cimientos para su desarrollo. Estas obras se publicarían en revistas académicas relativamente oscuras y desconocidas. Sin embargo, Bolzano no pudo terminar su empresa. Regresó a Praga en 1842 y murió en 1848.

En un siglo XIX dominado por el idealismo alemán por un lado y los campos cientificistas y positivistas por el otro, sus escritos fueron casi olvidados. Nadie podía sospechar que sería fundamental, no solo para el desarrollo de la lógica, sino también por establecer bases sólidas para el desarrollo de la filosofía del siglo XX.
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La lógica y la semántica

En la época de Bolzano, la lógica que se enseñaba era la aristotélica, esto significa que la discusión de este pensador se centraría en tres ámbitos que se distinguen hoy día: la lógica formal, la semántica y la teoría del conocimiento. La semántica per se no existía en aquella época y, contrario a Kant, ese era su enfoque.

Contrario al kantianismo, Bolzano no encontró el fundamento científico en las facultades mentales sino más bien en la lógica y los significados (como veremos más adelante, no usaba ese término). La lógica no es una rama de la psicología, sino más bien una técnica imprescindible para toda ciencia y está más vinculada a los arreglos de y entre proposiciones que a los procesos psicológicos. Si este es el caso, entonces se debería explorar la naturaleza de las proposiciones “en sí mismas”.

Las proposiciones pueden ser verdaderas o falsas con independencia de la mente humana. Por ejemplo, puedo proponer que “en la geometría euclideana, el cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma del cuadrado de sus catetos”. La proposición expresada siempre será verdadera con independencia de nuestros contenidos mentales. Hay otras oraciones que nos hablan sobre ciertos hechos, por ejemplo, “John F. Kennedy fue asesinado en 1963.” La propuesta de la oración, en otras palabras, la proposición (Satz), es verdadera y siempre lo será aun cuando en el futuro todo el mundo piense algo distinto. Finalmente, están aquellas oraciones que expresan verdad, pero solo en virtud de su estructura, por ejemplo, si dijera “Existen los ángeles florentinos o no existen los ángeles florentinos”, la proposición sería verdadera estrictamente hablando, independientemente de si dichos seres celestiales existen o no.

De aquí, Bolzano distingue tres tipos de proposiciones verdaderas:

  • Aquellas que son de orden abstracto lógico matemático y que son verdaderas siempre “en sí mismas”.
  • Aquellas que nos hablan de un hecho ocurrido en la temporalidad, pero cuyo contenido (significado) permanece siendo verdadero con independencia de los hechos factuales temporales.
  • Aquellas que lo son en virtud de su forma o estructura.

Por otro lado, Bolzano subraya la importancia de no identificar las oraciones (la serie lingüística de signos que expresan proposiciones) con las proposiciones mismas. Hay que distinguir entre el signo de su “contenido”. El signo es físico (visual o auditivo). Su contenido es abstracto. Los signos “2” indoarábigo y “II” romano expresan la misma idea, el mismo contenido. Lo mismo ocurre con las oraciones.

Por otro lado, hay que distinguir entre las proposiciones consideradas en ellas mismas de las “representaciones”, estas últimas son imágenes sensibles que nos representamos momentáneamente en la mente y que son puramente subjetivas. Las proposiciones expresadas son distintas al signo o todo lo físico y se hallan desvinculadas de los procesos mentales y temporales. En un sentido muy genuino, podemos hablar de “proposiciones en sí” (Sätze-an-sich) y de “verdades en sí” (Wahrheiten-an-sich) objetivas.

Las ciencias, el conocimiento genuino, busca objetividad. Por ende, aspira a “aprehender” o “captar” proposiciones objetivas, abstractas y lógicamente concatenadas.

A partir de ello, Bolzano identificaba tres ámbitos:

  • En primer lugar, el de los signos lingüísticos, donde encontramos palabras y oraciones.
  • En segundo lugar, las representaciones y los procesos mentales como puramente subjetivos.
  • En tercer lugar, un ámbito objetivo, pero abstracto que persiste “en sí” con independencia de toda ocurrencia del mundo físico y de los sucesos mentales. Esta independencia permite que una proposición sea “captada” o “aprehendida” por diversas mentes y, así, reconocidas intersubjetivamente.

En términos sencillos, para Bolzano, este ámbito abstracto y atemporal era tan existente como el mundo físico. Aquí nace la tesis principal del realismo semántico contemporáneo, específicamente en la forma platonismo semántico: hay entidades lingüísticas que existen con independencia de la mente humana y los procesos físicos.

Desgraciadamente, otros filósofos pensaron ver matices teológicos detrás de ello, ya que Dios y las almas se consideraban abstractas, una razón por la que su obra fue ignorada por filósofos progresistas, psicologistas, idealistas, materialistas y positivistas de toda Europa. En sus mentes escandalizadas probablemente decían, “¡vuelta al Medioevo, a la edad oscura!”

Desgraciadamente, para ellos, la obra de Bolzano sería clave para el avance de la filosofía, la lógica y las ciencias.
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Analiticidad y sinteticidad

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Placa dedicada a la memoria de Bernard Bolzano en la Calle Celetná, en Praga.

Si hay proposiciones que son verdaderas solamente en virtud de su forma deductiva y no de su materia, tenemos que preguntarnos acerca de la naturaleza de esta última. Si las proposiciones no pertenecen al dominio de lo psicológico o de las representaciones subjetivas, entonces sus componentes deben pertenecer a la región de los “en sí”. Bolzano se referiría a ellos bajo el término “representaciones en sí” (Vorstellungen-an-sich). Posteriormente, la tradición semántica les llamaría “significados” (Bedeutungen). Desde esta perspectiva, una proposición en sí no es sino una suerte de “representación en sí” compuesto por unas “representaciones objetivas” más elementales.

Con base en esto, el criterio de analiticidad de Bolzano difería marcadamente del de Kant. Debido a que la inmensa mayoría de la filosofía de su momento se erigía sobre la Crítica de la razón pura, este nuevo criterio fue ignorado por muchísimo tiempo, teniendo como notable excepción a Edmund Husserl. Para Bolzano, una proposición es lógicamente analítica si es universalmente válida en virtud de su forma y no de sus componentes no lógicos (materiales). Esto no tiene nada que ver exclusivamente con la estructura “sujeto-predicado” como pensaba Kant. Esto tiene que ver exclusivamente con los componentes formales. Cualquiera podría sustituir los componentes materiales de las proposiciones por cuales quiera otros y ellas seguirían siendo verdaderas (o falsas) en virtud de su forma (lo que se conoce en filosofía como sustitución salva veritate).

Si digo, “Si los hombres son mortales y Pablo es hombre, entonces Pablo es mortal”, la proposición sería igualmente verdadera y tan lógicamente analítica que como si dijera “Si los elfos son mortales y Legolas es elfo, entonces Legolas es mortal”.  Esto se debe a que ambas proposiciones comparten la misma forma lógica en la que sustituimos las variables “hombres” y “Pablo” por “elfos” y “Legolas” correspondientemente. El valor de verdad específico (verdadero) no cambia en lo absoluto aun cuando los elfos no existan.

Desde esa perspectiva, la lógica no es a priori en el sentido kantiano, que sus proposiciones son reconocidas puramente por la razón en sí misma, sino porque sus aserciones son verdaderas formalmente hablando. Podríamos pensar la lógica compuesta de proposiciones cuyos componentes materiales pueden ser convertidos en variables en una cadena lógicamente deductiva. Si adoptamos un vocabulario fijo con definiciones fijas para los componentes formales, obtendremos de la lógica una ciencia puramente formal. Esto no se limitaría a la estructura formal “sujeto-predicado” sino también a formas de conjunción, disyunción, implicación, entre otros. Tampoco se restringe en lo absoluto a los silogismos tradicionales aristotélicos sino a cualquier otra forma deductiva. De esta manera, Bolzano sentó las bases para una reforma de la lógica como ciencia formal. Para todos los efectos, Bolzano caracterizaba a las proposiciones como analíticas si son un conjunto ordenado de variables configuradas de tal manera que puedan ser sustituidas objetualmente (es decir, por objetos) salva veritate. De esta manera, cualquier proposición puede ser analíticamente verdadera o analíticamente falsa. Contrario a Kant, para Bolzano, el contenido material de las proposiciones (si un concepto está o no incluido en otro) es irrelevante a la hora de determinar analiticidad.

Toda proposición que no fuera analítica en este sentido, sería sintética. Sin embargo, contrario a sus filósofos contemporáneos, Bolzano aceptaba la existencia de proposiciones sintéticas a priori, pero las caracterizaba de una manera completamente distinta a la de Kant. Desde el punto de vista del idealismo trascendental, lo que importaba era si un concepto estaba o no contenido en otro. En cambio, para Bolzano, esta manera de proceder sería un error fundamental de la aproximación kantiana. Cuando decimos que la suma de los ángulos de un triángulo es 180⁰, no estamos buscando “conceptos dentro de conceptos”. Obviamente, esta proposición geométrica es una sintética, pero es una verdad a priori debido a que es necesaria. Aunque Bolzano utilizaba alguna aproximación empirista para tratar de justificar su creencia en la aprioricidad de los juicios de la geometría, no supo con certeza cómo hacerlo. Sin embargo, intuyó que la justificación de la geometría debía ser derivable puramente a nivel conceptual sin asistencia alguna de la experiencia.

De esta discusión, se desprende la distinción entre necesidad y analiticidad. Para Bolzano, tanto las proposiciones analíticas como las sintéticas a priori son necesarias. Las primeras son lógicamente necesarias, mientras que las segundas son no lógicamente necesarias (ejemplo de esta, “Lo que es cuerpo no puede ser inextenso”). Sin embargo, para explicar esta necesidad, recurrió a una noción “empirista” o “casi inductivista” —en el sentido de que cierto arreglo formal o material se entiende como necesario porque ha sido confirmado con argumentos innumerable veces—. Por tal razón, su doctrina epistemológica se quedó coja y su teoría de cómo es que captamos proposiciones a priori resultaba ser insatisfactoria.

Continuaremos con Bolzano en nuestro próxima publicación de esta serie.

Bibliografía

Bolzano, Bernard. Theory of Science. Traducido por Paul Rusnock y George Rolf. Oxford: Oxford University Press, 2014.

Coffa, J. Alberto. The Semantic Tradition from Kant to Carnap. To the Vienna Station. Cambridge: Cambridge University Press, 1998.

LaPointe, Sandra. “Bernard Bolzano: Philosophy of Mathematical Knowledge.” Internet Encyclopedia of Philosophyhttp://www.iep.utm.edu/bol-math/.

Morscher, Edgar. “Bernard Bolzano.” The Stanford Encyclopedia of Philosophy. Editado por Edward N. Zalta. Otoño de 2014. http://plato.stanford.edu/archives/fall2014/entries/bolzano/.

Šebestik, Jan. “Bolzano’s Logic.” The Stanford Encyclopedia of Philosophy. Editado por Edward N. Zalta. Primavera de 2016. http://plato.stanford.edu/archives/spr2016/entries/bolzano-logic/.